【題目】已知橢圓（）的焦距為4，其短軸的兩個端點(diǎn)與長軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，直線，為橢圓上任意一點(diǎn)，證明：點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到距離的倍.

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)焦距及短軸的兩個端點(diǎn)與長軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成正三角形,結(jié)合橢圓中的關(guān)系,即可求得的值,即可得橢圓方程.

（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式,結(jié)合橢圓的方程即可證明.

（1）因?yàn)闄E圓（）的焦距為4,其短軸的兩個端點(diǎn)與長軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.

所以,解方程組可得

所以橢圓的方程為

（2）證明:設(shè),

因?yàn)?/span>為橢圓的左焦點(diǎn),直線,橢圓的方程為

所以,即

則點(diǎn)P到直線的距離為

點(diǎn)P到的距離為

因?yàn)?/span>

所以原式

所以,即點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到距離的倍.

得證.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)是由曲線確定的．

（1）寫出函數(shù)，并判斷該函數(shù)的奇偶性；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并證明其單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個家庭，獲得第個家庭的月收入（單位：千元）與月儲蓄（單位：千元）的數(shù)據(jù)資料，算得，，，．

（1）求家庭的月儲蓄對月收入的線性回歸方程；

（2）若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭的月儲蓄．

（附：線性回歸方程中，，其中，為樣本平均值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】大數(shù)據(jù)時代對于現(xiàn)代人的數(shù)據(jù)分析能力要求越來越高，數(shù)據(jù)擬合是一種把現(xiàn)有數(shù)據(jù)通過數(shù)學(xué)方法來代入某條數(shù)式的表示方式，比如，，2，，n是平面直角坐標(biāo)系上的一系列點(diǎn)，用函數(shù)來擬合該組數(shù)據(jù)，盡可能使得函數(shù)圖象與點(diǎn)列比較接近．其中一種描述接近程度的指標(biāo)是函數(shù)的擬合誤差，擬合誤差越小越好，定義函數(shù)的擬合誤差為：．已知平面直角坐標(biāo)系上5個點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)如表：

x

1

3

5

7

9

y

12

4

12

若用一次函數(shù)來擬合上述表格中的數(shù)據(jù)，求該函數(shù)的擬合誤差的最小值，并求出此時的函數(shù)解析式；

若用二次函數(shù)來擬合題干表格中的數(shù)據(jù)，求；

請比較第問中的和第問中的，用哪一個函數(shù)擬合題目中給出的數(shù)據(jù)更好？請至少寫出三條理由

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極值.

(1)求的值；

(2)若有極大值，求在上的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】是橢圓的兩個焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)時，有.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)過橢圓右焦點(diǎn)的動直線與橢圓交于兩點(diǎn)，試問：在鈾上是否存在與不重合的定點(diǎn)，使得恒成立？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在全國第五個“扶貧日”到來之前,某省開展“精準(zhǔn)扶貧,攜手同行”的主題活動,某貧困縣調(diào)查基層干部走訪貧困戶數(shù)量．鎮(zhèn)有基層干部60人,鎮(zhèn)有基層干部60人,鎮(zhèn)有基層干部80人,每人都走訪了若干貧困戶,按照分層抽樣,從三鎮(zhèn)共選40名基層干部,統(tǒng)計他們走訪貧困戶的數(shù)量,并將走訪數(shù)量分成5組,,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求這40人中有多少人來自鎮(zhèn),并估計三鎮(zhèn)的基層干部平均每人走訪多少貧困戶；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)

(2)如果把走訪貧困戶達(dá)到或超過25戶視為工作出色,以頻率估計概率,從三鎮(zhèn)的所有基層干部中隨機(jī)選取3人,記這3人中工作出色的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若直線斜率為1，過橢圓的右焦點(diǎn)，求弦的長；

（2）若，且為銳角，求直線斜率的取值范圍.

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