Question

已知橢圓C₁：

x2

5

+

y2

2

=1和圓C：x²+y²=4，且圓C與x軸交于A₁，A₂兩點(diǎn)．
（1）設(shè)橢圓C₁的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P的圓C上異于A₁，A₂的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)PF的垂線(xiàn)交橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)Q，試判斷直線(xiàn)PQ與圓C的位置關(guān)系，并給出證明；
（2）設(shè)點(diǎn)M（x₀，y₀）在直線(xiàn)x+y-3=0上，若存在點(diǎn)N∈C，使得∠OMN=60°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓方程可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和右準(zhǔn)線(xiàn)方程，設(shè)點(diǎn)P，代入圓方程求得x₀，y₀的關(guān)系，進(jìn)而表示出直線(xiàn)PF，OQ的斜率，進(jìn)而可推斷出直線(xiàn)OQ的方程，把x=2

2

代入求得y，求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得PQ的斜率的表達(dá)式，結(jié)果與OP的斜率乘積為-1，推斷出OP⊥PQ進(jìn)而可知直線(xiàn)P與圓C相切
（2）設(shè)∠OMN=θ，則依題意可知θ≥60°，進(jìn)而求得sinθ的范圍，根據(jù)ON=2確定OM的范圍，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)M在直線(xiàn)l上，求得x₀，y₀的關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)x₀²+y₀²≤

16

3

，求得x₀的取值范圍．

解答：解：（1）直線(xiàn)P與圓C相切．
證明如下：易得橢圓C₁的右焦點(diǎn)為F（

2

，0），
右準(zhǔn)線(xiàn)為x=2

2

設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）則有x₀²+y₀²=4，
又k_PF=

y0

x0- 2

，k_OQ=-

x0- 2

y0

∴直線(xiàn)OQ的方程為y=

x0- 2

y0

x
令x=2

2

，得y=-

2 2 (x0- 2 )

y0

，
即Q（2

2

，-

2 2 (x0- 2 )

y0

）
∴k_PQ=

y0+ 2 2 (x0- 2 ) y0

x0-2 2

=-

x0(x0-2 2 )

y0(x0-2 2)

=-

x0

y0

又k_OP=

y0

x0

于是有k_PQ•k_OP=-1，故OP⊥PQ，直線(xiàn)P與圓C相切
（2）如圖，設(shè)∠OMN=θ，則θ≥60°，
即sinθ≥

3

2

，即

ON

OM

≥

3

2

，
而ON=2，∴OM≤

4

3

∵M(jìn)（x₀，y₀），∴x₀²+y₀²≤

16

3

，
又由M（x₀，y₀）∈l，得x₀+y₀=3，
∴y₀=3-x₀，于是有x₀²+（3-x₀）²≤

16

3

，
整理，得6x₀²-18x₀+11≤0，
解得

9- 15

6

≤x₀≤

9+ 15

6

∴x₀的取值范圍是[

9- 15

6

，

9+ 15

6

]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題．直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題是支撐圓錐曲線(xiàn)知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容，問(wèn)題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等，而不同的解題途徑其運(yùn)算量繁簡(jiǎn)差別很大，故此類(lèi)問(wèn)題能有效地考查考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，故應(yīng)作為平時(shí)復(fù)習(xí)的重點(diǎn)．