Question

【題目】已知直線恒過定點(diǎn)，圓經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在直線上.

（1）求定點(diǎn)的坐標(biāo)與圓的方程；

（2）已知點(diǎn)為圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，若另一個(gè)端點(diǎn)為點(diǎn)，問：在軸上是否存在一點(diǎn)，使得為直角三角形，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）存在，或.

【解析】

（1）可采用分離參數(shù)法求出直線恒過的定點(diǎn)，設(shè)圓的方程為，將兩點(diǎn)代入一般方程，又圓心過直線，故有，聯(lián)立求解即可；

（2）由為直徑對(duì)應(yīng)的兩個(gè)端點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱關(guān)系先求得點(diǎn)，可判斷點(diǎn)在圓外，故直角存在兩種情況，以點(diǎn)為直角和以點(diǎn)為直角，結(jié)合兩直線垂直斜率之積為-1即可求得點(diǎn)

（1）由得，，

令，得，即定點(diǎn)的坐標(biāo)為.

設(shè)圓的方程為，

由條件得，解得.

所以圓的方程為.

（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，設(shè)點(diǎn)關(guān)于圓心的對(duì)稱點(diǎn)為，則有，解得，，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.因?yàn)?/span>在圓外，所以點(diǎn)不能作為直角三角形的頂點(diǎn)，

若點(diǎn)為直角三角形的頂點(diǎn)，則有，

若點(diǎn)是直角三角形的頂點(diǎn)，則有，

綜上，或.