Question

（本題滿分16分）已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，若上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（2）求滿足下列條件的所有整數(shù)對：存在，使得的最大值， 的最小值；
（3）對滿足（2）中的條件的整數(shù)對，試構(gòu)造一個(gè)定義在且 上的函數(shù)：使，且當(dāng)時(shí)，．

Answer 1

（1）a的取值范圍是
（2）滿足條件的整數(shù)對是
（3）

（1）當(dāng)時(shí)，，………………………………………………1分
若，，則在上單調(diào)遞減，符合題意；………3分
若，要使在上單調(diào)遞減，
必須滿足 ……………………………………………………………………5分
∴．綜上所述，a的取值范圍是 …………………………………6分
（2）若，，則無最大值，………………………7分
故，∴為二次函數(shù)，
要使有最大值，必須滿足即且，…8分
此時(shí)，時(shí)，有最大值．………………………………………分
又取最小值時(shí)，，………………………………………………………分
依題意，有，則，…………分
∵且，∴，得，………………分
此時(shí)或．
∴滿足條件的整數(shù)對是．……………………………12分
（3）當(dāng)整數(shù)對是時(shí)，
，是以2為周期的周期函數(shù)，………………………分
又當(dāng)時(shí)，,構(gòu)造如下：當(dāng)，則，
，
故…