Question

已知A、B是圓x²+y²=4上滿足條件的兩個(gè)點(diǎn)，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，分別過(guò)A、B作x軸的垂線段，交橢圓x²+4y²=4于A₁、B₁點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)S₁和S₂分別表示△PAB和△B₁A₁A的面積，當(dāng)點(diǎn)P在x軸的上方，點(diǎn)A在x軸的下方時(shí)，求S₁+S₂的最大值。

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)，
則， ①    ， ②
從而，
由于，所以，進(jìn)而有，③
根據(jù)，可得，
即，
由④²+4×⑤²，并結(jié)合①②③得


，
所以動(dòng)點(diǎn)Ｐ的軌跡方程為；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ），
所以直線AB的方程為，
即，
從而點(diǎn)到直線AB的距離為


，
又因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110929/201109291344333431015.gif">，
所以，
而，
所以，
由①+②-2×③得，
從而有，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，
即的最大值為2。