Question

【題目】已知函數定義在上，且可以表示為一個偶函數與一個奇函數之和，設，

（1）求出的解析式；

（2）若對于任意恒成立，求的取值范圍；

Answer 1

【答案】(1)p(t)＝t2＋2mt＋m2－m＋1.(2)m≥－

【解析】試題分析：（1）根據和的奇偶性列關于和的方程組，求出和的解析式，從而求出的解析式即可；（2）問題轉化為對于恒成立，令，根據函數的單調性求出的范圍即可.

試題解析：(1)假設f(x)＝g(x)＋h(x)①，則　f(－x)＝g(x)－h(x)②，

由①②解得∴g(x)＝＝＝2x＋，

h(x)＝＝＝2x－.

由2x－＝t，則t∈R，平方得t2＝(2x－)2＝22x＋－2，

∴g(2x)＝22x＋＝t2＋2，∴p(t)＝t2＋2mt＋m2－m＋1.

(2)∵h(x)對于x∈[1,2]單調遞增，∴≤t≤，

∴P(t)＝t2＋2mt＋m2－m＋1≥m2－m－1對于t∈[，]恒成立，

∴m≥－對于t∈[，]恒成立，

令φ(t)＝－，由φ(t)在t∈[，]上單調遞減，

∴φ(t)max＝φ()＝－，∴m≥－為m的取值范圍．