Question

【題目】為調(diào)查高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時間之間的相關(guān)關(guān)系，某重點高中數(shù)學(xué)教師對新入學(xué)的45名學(xué)生進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，其中每周自主做數(shù)學(xué)題的時間不少于15小時的有19人，余下的人中，在高三模擬考試中數(shù)學(xué)平均成績不足120分的占 ，統(tǒng)計成績后，得到如下的2×2列聯(lián)表：

	分?jǐn)?shù)大于等于120分	分?jǐn)?shù)不足120分	合計
周做題時間不少于15小時		4	19
周做題時間不足15小時
合計			45

（Ⅰ）請完成上面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時間有關(guān)”；
（Ⅱ）（ i）按照分層抽樣的方法，在上述樣本中，從分?jǐn)?shù)大于等于120分和分?jǐn)?shù)不足120分的兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生，設(shè)抽到的不足120分且周做題時間不足15小時的人數(shù)是X，求X的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；
（ ii）若將頻率視為概率，從全校大于等于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人，求這些人中周做題時間不少于15小時的人數(shù)的期望和方差．
附：

P（K2≥k0）	0.050	0.010	0.001
k0	3.841	6.635	10.828

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）列聯(lián)表：

	分?jǐn)?shù)大于等于120分	分?jǐn)?shù)不足120分	合計
周做題時間不少于15小時	15	4	19
周做題時間不足15小時	10	16	26
合計	25	20	45

∵ ，
∴能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時間有關(guān)”．
（Ⅱ）（ i）9× =4，故需要從不足120分的學(xué)生中抽取4人．
X的可能取值為0，1，2，3，4，
P（X=0）= ，P（X=1）= ，P（X=2）= ，P（X=3）= ，P（X=4）= ．
（ ii）從全校大于等于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，此人周做題時間不少于15小時的概率為 =0.6，
設(shè)從全校大于等于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人，這些人中周做題時間不少于15小時的人數(shù)為隨機(jī)變量Y，則Y～B（20，0.6），
故E（Y）=12，D（Y）=4.8
【解析】（I）根據(jù)比例計算每周自主做數(shù)學(xué)題的時間不足15小時，且數(shù)學(xué)平均成績不足120分的人數(shù)，再根據(jù)合計數(shù)填表；（II）（i）計算抽取的人數(shù)中分?jǐn)?shù)不足120分的人數(shù)，根據(jù)超幾何分布的概率公式計算；（ii）根據(jù)二項分布的性質(zhì)計算．