【題目】已知函數(shù)f(x)=aex圖象在x=0處的切線與函數(shù)g(x)=lnx圖象在x=1處的切線互相平行.

(Ⅰ)求a的值;

(Ⅱ)設(shè)直線x=t(t>0)分別與曲線y=f(x)和y=g(x)交于P,Q兩點,求證:|PQ|>2.

【答案】(Ⅰ)a=1;(Ⅱ)見解析

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知,在某點處的切線的斜率即為該點處的導數(shù)值;

(Ⅱ)由題意|PQ|=|et-lnt|,構(gòu)造新函數(shù)h(x)=ex-lnx,x>0,,利用導數(shù)求解新函數(shù)的最小值,可證結(jié)論.

(Ⅰ)由f(x)=aex,得f(x)=aex,所以f(0)=a,

由g(x)=lnx,得,所以g(1)=1,由已知f(0)=g(1),得a=1,

經(jīng)檢驗,a=1符合題意.

(Ⅱ)由題意|PQ|=|et-lnt|,t>0,設(shè)h(x)=ex-lnx,x>0,

,設(shè),

,所以(x)在區(qū)間(0,+∞)單調(diào)遞增,

(1)=e-1>0,,所以(x)在區(qū)間(0,+∞)存在唯一零點,

設(shè)零點為x0,則,且

當x∈(0,x0)時,h(x)<0;當x∈(x0,+∞),h(x)>0.

所以,函數(shù)h(x)在(0,x0)遞減,在(x0,+∞)遞增,

,由,得lnx0=-x0,

所以,由于,h(x0)>2.

從而h(x)>2,即ex-lnx>2,也就是et-lnt>2,|et-lnt|>2,

即|PQ|>2,命題得證.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),.

(1)若,求實數(shù)的取值范圍;

(2)設(shè)函數(shù)的極大值為,極小值為,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知單調(diào)等比數(shù)列中,首項為 ,其前n項和是,且成等差數(shù)列,數(shù)列滿足條件

() 求數(shù)列、的通項公式;

() 設(shè) ,記數(shù)列的前項和 .

①求 ;②求正整數(shù),使得對任意,均有 .

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】

某學校高一數(shù)學興趣小組對學生每周平均體育鍛煉小時數(shù)與體育成績優(yōu)秀(體育成績滿分100分,不低于85分稱優(yōu)秀)人數(shù)之間的關(guān)系進行分析研究,他們從本校初二,初三,高一,高二,高三年級各隨機抽取了40名學生,記錄并整理了這些學生周平均體育鍛煉小時數(shù)與體育成績優(yōu)秀人數(shù),得到如下數(shù)據(jù)表:

初二

初三

高一

高二

高三

周平均體育鍛煉小時數(shù)工(單位:小時)

14

11

13

12

9

體育成績優(yōu)秀人數(shù)y(單位:人)

35

26

32

26

19

該興趣小組確定的研究方案是:先從這5組數(shù)據(jù)中選取3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用剩下的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.

1)若選取的是初三,高一,高二的3組數(shù)據(jù),請根據(jù)這3組數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程;

2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選取的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過1,則認為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(1)中所得到的線性回歸方程是否可靠?

參考數(shù)據(jù):,.

參考公式:.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖中,,若以為焦點的雙曲線的漸近線經(jīng)過點,則該雙曲線的離心率為

A. B.

C. D.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某大學餐飲中心為了了解新生的飲食習慣,在全校一年級學生中進行了抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下表所示:

喜歡甜品

不喜歡甜品

合計

南方學生

60

20

80

北方學生

10

10

20

合計

70

30

100

根據(jù)表中數(shù)據(jù),問是否有的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”;

已知在被調(diào)查的北方學生中有5名數(shù)學系的學生,其中2名喜歡甜品,現(xiàn)在從這5名學生中隨機抽取3人,求至多有1人喜歡甜品的概率.

附:

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】隨著高考制度的改革,某省即將實施“語數(shù)外+3”新高考的方案,2019年秋季入學的高一新生將面臨從物理(物)、化學(化)、生物(生)、政治(政)、歷史(歷)、地理(地)六科中任選三科(共20種選法)作為自己將來高考“語數(shù)外+3”新高考方案中的“3”某市為了順利地迎接新高考改革,在某高中200名學生中進行了“學生模擬選科數(shù)據(jù)”調(diào)查,每個學生只能從表格中的20種課程組合中選擇一種學習模擬選課數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表:

序號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

組合學科

物化生

物化政

物化歷

物化地

物生政

物生歷

物生地

物政歷

物政地

物歷地

人數(shù)

20人

5人

10人

10人

5人

15人

10人

5人

0人

5人

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

合計

化生政

化生歷

化生地

化政歷

化政地

化歷地

生政歷

生政地

生歷地

政歷地

5人

10人

5人

25人

200人

為了解學生成績與學生模擬選課情況之問的關(guān)系,用分層抽樣的方法從這200名學生中抽取40人的樣本進行分析

(l)樣本中選擇組合20號“政歷地”的有多少人?若以樣本頻率作為概率,求該高中學生不選物理學科的概率?

(Ⅱ)從樣本中選擇學習生物且學習政治的學生中隨機抽取3人,求這3人中至少有一人還學習歷史的概率?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知首項為的等比數(shù)列的前n項和為, 且成等差數(shù)列.

() 求數(shù)列的通項公式;

() 證明.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知拋物線經(jīng)過點,過作兩條不同直線,其中直線關(guān)于直線對稱.

(Ⅰ)求拋物線的方程及準線方程;

(Ⅱ)設(shè)直線分別交拋物線兩點(均不與重合),若以線段為直徑的圓與拋物線的準線相切,求直線的方程.

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