Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，△為等邊三角形，，，，分別為棱，的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；

（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）證明和即可證明

（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，得，以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸如圖建系，求得兩平面的法向量，利用二面角向量公式求解

（3）假設(shè)棱上存在點(diǎn)，使得平面，且設(shè)，求得平面的法向量，利用得

（1）因?yàn)?/span>平面，平面，平面，所以，．

又因?yàn)椤?/span>為等邊三角形，為的中點(diǎn)，所以．，

所以平面．

（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，則易知，，．因?yàn)椤?/span>為等邊三角形，所以．

以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸如圖建系，

，，，

設(shè)平面的法向量，則：，即，

令，得平面的一個(gè)法向量，易知平面的一個(gè)法向量為

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．

（3）假設(shè)棱上存在點(diǎn)，使得平面，且設(shè)，則，

，則，

，要使得平面，則，得，

所以線段上存在點(diǎn)，使得平面，．