Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+x²
（1）若函數(shù)g（x）=f（x）-ax在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）在（1）條件下若a＞1，h（x）=x³-3ax，x∈[1，2]，求h（x）的最小值；
（3）設(shè)F（x）=2f（x）-3x²-kx（k∈R），若函數(shù)F（x）存在兩個零點(diǎn)m，n（0＜m＜n）且2x₀=m+n，證明：函數(shù)F（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線不可能平行于x軸．

Answer 1

分析：（1）先將g（x）在（0，+∞）上遞增，轉(zhuǎn)化成f′（x）≥0對x∈（0，+∞）恒成立，最后根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再得出導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與單調(diào)性的規(guī)律，得出函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的最小值為h（

a

）；
（3）對于能否問題，可先假設(shè)能，即設(shè)F（x）在（x₀，F(xiàn)（x₀））的切線平行于x軸，其中F（x）=2lnx-x²-kx結(jié)合題意，列出方程組，證得函數(shù)y=lnu-

2(u-1)

u+1

在（0，1）上單調(diào)遞增，最后出現(xiàn)矛盾，說明假設(shè)不成立，即切線不能否平行于x軸．

解答：解：（1）∵g（x）=f（x）-ax
∴g'（x）=

1

x

+2x-a  定義域：（0，+∞）
∴1+2x²-ax≥0在（0，+∞）成立
對稱軸：x=

a

4

a≤0時只要最小值g'（0）=1＞0即可
a＞0時，g'（

a

4

）=

a2

8

-

a2

4

+1≥0則

a2

8

≤1
0＜a≤2

2

綜上a≤2

2

．
（2）由（1）以及條件得：1＜a≤2

2

，
∵h(yuǎn)（x）=x³-3ax，，
∴h'（x）=3（x²-a）=3（x+

a

）（x-

a

），且1＜

a

＜2．
所以當(dāng)1＜x＜

a

時，h'（x）＜0，即h（x）在（1，

a

）上遞增；
當(dāng)

a

＜x＜2時．h'（x）＞0，即h（x）在（

a

，2）上遞減．
故h（x）在[1，2]上的最小值為h（

a

）=(

a

)3-3a

a

=-2

a

．
（3）設(shè)F（x）在（x₀，F(xiàn)（x₀））的切線平行于x軸，其中F（x）=2lnx-x²-kx
結(jié)合題意，有

2lnm-m2-km=0① 2lnn-n2-kn=0② m+n=2x0③ 2 x0 -2x0-k=0④

①-②得2ln

m

n

-(m+n)(m-n)=k(m-n)
所以k=

2ln m n

m-n

-2x0，由④得k=

2

x0

-2x0
所以ln

m

n

=

2(m-n)

m+n

=

2( m n -1)

m n +1

⑤
設(shè)u=

m

n

∈(0，1)，⑤式變?yōu)?span id="9siqtm1" class="MathJye">lnu-

2(u-1)

u+1

=0(u∈(0，1))
設(shè)y=lnu-

2(u-1)

u+1

(u∈(0，1))，y′=

1

u

-

2(u+1)-2(u-1)

(u+1)2

=

(u+1)2-4u

u(u+1)2

=

(u-1)2

u(u+1)2

＞0
所以函數(shù)y=lnu-

2(u-1)

u+1

在（0，1）上單調(diào)遞增，
因此，y＜y|_u=1=0，即lnu-

2(u-1)

u+1

＜0，也就是，ln

m

n

＜

2( m n -1)

m n +1

此式與⑤矛盾
所以F（x）在（x₀，F(xiàn)（x₀））的切線不能平行于x軸

點(diǎn)評：利用導(dǎo)數(shù)工具討論函數(shù)的單調(diào)性，是求函數(shù)的值域和最值的常用方法，本題還考查了分類討論思想在函數(shù)題中的應(yīng)用，同學(xué)們在做題的同時，可以根據(jù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的草圖來加深對題意的理解．