已知圓C的方程為:x2+y2=4
(1)求過(guò)點(diǎn)P(2,1)且與圓C相切的直線l的方程;
(2)直線l過(guò)點(diǎn)D(1,2),且與圓C交于A、B兩點(diǎn),若|AB|=2,求直線l的方程;
(3)圓C上有一動(dòng)點(diǎn)M(x,y),=(0,y),若向量=+,求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程.
【答案】分析:(1)分兩種情況考慮:當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線x=2滿足題意;當(dāng)k存在時(shí),變形出l方程,利用圓心到l的距離d=r列出方程,求出方程的解得到k的值,確定出此時(shí)l方程,綜上,得到滿足題意直線l的方程;
(2)分兩種情況考慮:當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),此時(shí)直線方程為x=1,直線l與圓的兩個(gè)交點(diǎn)距離為2,滿足題意;
當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí),設(shè)其方程為y-2=k(x-1),求出圓心到直線l的距離d=1,利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程,求出方程的解得到k的值,確定出此時(shí)直線方程,綜上,得到滿足題意直線l的方程;
(3)設(shè)Q(x,y),表示出,,代入已知等式中化簡(jiǎn)得到x=x,y=2y,代入圓方程變形即可得到Q軌跡方程.
解答:解:(1)當(dāng)k不存在時(shí),x=2滿足題意;
當(dāng)k存在時(shí),設(shè)切線方程為y-1=k(x-2),
=2得,k=-,
則所求的切線方程為x=2或3x+4y-10=0;
(2)當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),此時(shí)直線方程為x=1,l與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,)和(1,-),這兩點(diǎn)的距離為2,滿足題意;
當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí),設(shè)其方程為y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,
設(shè)圓心到此直線的距離為d,
∴d==1,即=1,
解得:k=
此時(shí)直線方程為3x-4y+5=0,
綜上所述,所求直線方程為3x-4y+5=0或x=1;
(3)設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),
∵M(jìn)(x,y),=(0,y),=+
∴(x,y)=(x,2y),
∴x=x,y=2y,
∵x2+y2=4,
∴x2+(2=4,即+=1.
點(diǎn)評(píng):此題考查了直線與圓的位置關(guān)系,以及與直線有關(guān)的軌跡方程,涉及的知識(shí)有:垂徑定理,勾股定理,點(diǎn)到直線的距離公式,直線的點(diǎn)斜式方程,以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,利用了分類討論的思想,分類討論時(shí)要求學(xué)生考慮問(wèn)題要全面,做到不重不漏.
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