(本題14分)已知函數(shù)f (x) = ax3 +x2 -ax,其中a,x∈R.

(Ⅰ)若函數(shù)f (x) 在區(qū)間(1,2)上不是單調(diào)函數(shù),試求a的取值范圍;

(Ⅱ)直接寫出(不需給出運算過程)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;

(Ⅲ)如果存在a∈(-∞,-1],使得函數(shù), x∈[-1, b](b > -1),在x = -1處取得最小值,試求b的最大值.

 

【答案】

解:(Ⅰ)解法一:

依題意知方程在區(qū)間(1,2)內(nèi)有不重復的零點,

 

∵x∈(1,2),  ∴

;

令   (x∈(1,2)),則,

在區(qū)間(1,2)上是單調(diào)遞增函數(shù),其值域為,

故a的取值范圍是.             ………………………5分

解法二:

依題意知方程在區(qū)間(1,2)內(nèi)有不重復的零點,

當a=0時,得 x=0,但0(1,2);

當a≠0時,方程的△=1+12a2>0,,必有兩異號根,

欲使f (x) 在區(qū)間(1,2)上不是單調(diào)函數(shù),方程在(1,2)內(nèi)一定有一根,設,則F(1)·F(2)<0,

即  (2a+2)(11a+4)<0,解得

故 a的取值范圍是 .     

(解法二得分標準類比解法一)

(Ⅱ)函數(shù)g (x) 的定義域為(0,+∞),

當 a≥0時,g (x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,無單調(diào)遞減區(qū)間;

當 a<0時,g (x)的單調(diào)遞減區(qū)間是  ………………8分

(Ⅲ);

依題意 在區(qū)間[-1, b]上恒成立,

即      ①

當x∈[-1, b] 恒成立,

當 x=-1時,不等式①成立;

當 -1< x ≤b時,不等式①可化為

    ②

,由a∈(-∞,-1]知,的圖像是

開口向下的拋物線,所以,在閉區(qū)間上的最小值必在區(qū)間的端點處取得,

∴不等式②恒成立的充要條件是,

,

亦即   a∈(-∞,-1];

當a∈(-∞,-1]時,,

 (b >-1),  即 b2+b-4 ≤ 0;

解得 ;

但b >-1, ∴;

故 b的最大值為,此時 a =-1符合題意.     ……………14分

【解析】略

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源:2014屆湖南省高一12月月考數(shù)學 題型:解答題

(本題滿分14分)定義在D上的函數(shù),如果滿足;對任意,存在常數(shù),都有成立,則稱是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)的上界。

已知函數(shù),

(1)當時,求函數(shù)上的值域,并判斷函數(shù)上是否為有界函數(shù),請說明理由;

(2)若函數(shù)上是以3為上界函數(shù)值,求實數(shù)的取值范圍;

(3)若,求函數(shù)上的上界T的取值范圍。

 

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科目:高中數(shù)學 來源:2014屆湖南省高一12月月考數(shù)學 題型:解答題

(本題滿分14分)定義在D上的函數(shù),如果滿足;對任意,存在常數(shù),都有成立,則稱是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)的上界。

已知函數(shù)

(1)當時,求函數(shù)上的值域,并判斷函數(shù)上是否為有界函數(shù),請說明理由;

(2)若函數(shù)上是以3為上界函數(shù)值,求實數(shù)的取值范圍;

(3)若,求函數(shù)上的上界T的取值范圍。

 

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