【題目】設橢圓的離心率為，圓與軸正半軸交于點，圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設圓上任意一點處的切線交橢圓于點，，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由．

【答案】（1）；（2）是定值，

【解析】

（1）由，可得，故設橢圓方程為，可得點在橢圓上，即可求出參數(shù)的值，從而得到橢圓方程；

（2）當過點且與圓相切的切線斜率不存在時，不妨設切線方程為，

可得．當過點且與圓相切的切線斜率存在時，可設切線的方程為，，，由圓心到直線的距離等于半徑可得，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去，列出韋達定理，即可表示出，代入計算可得，即可得到，最后由三角形相似計算出的值即可；

解：（1）由橢圓的離心率為，，，

橢圓的方程可設為，

易求得，且圓在點處的切線方程為，點在橢圓上，，解得，橢圓的方程為．

（2）當過點且與圓相切的切線斜率不存在時，不妨設切線方程為，

由（1）知，，，，．

當過點且與圓相切的切線斜率存在時，可設切線的方程為，，，

，即．

聯(lián)立直線和橢圓的方程得:，

，，．

，

．綜上所述，圓上任意一點處的切線交橢圓于點，，都有．

在中，由得，為定值．

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】已知拋物線Γ：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，P是拋物線Γ上一點，且在第一象限，滿足（2，2）

（1）求拋物線Γ的方程；

（2）已知經(jīng)過點A（3，﹣2）的直線交拋物線Γ于M，N兩點，經(jīng)過定點B（3，﹣6）和M的直線與拋物線Γ交于另一點L，問直線NL是否恒過定點，如果過定點，求出該定點，否則說明理由．

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【題目】已知

（1）當時，求函數(shù)的極值；

（2）若有兩個零點求證：

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【題目】已知函數(shù)滿足，且當時，成立，若，，，則a，b，c的大小關系是()

A. aB. C. D. c

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【題目】為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關，對該班40名學生進行了問卷調查，得到了如下的列聯(lián)表：

男生

女生

總計

喜愛打籃球

19

15

34

不喜愛打籃球

1

5

6

總計

20

20

40

（1）在女生不喜愛打籃球的5個個體中，隨機抽取2人，求女生甲被選中的概率；

（2）判斷能否在犯錯誤的概率不超過的條件下認為喜愛籃球與性別有關？

附：，其中．

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

<>0.005

0.001

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知定點，，直線、相交于點，且它們的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線。

（1）求曲線的方程；

（2）過點的直線與曲線交于、兩點，是否存在定點，使得直線與斜率之積為定值，若存在，求出坐標；若不存在，請說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，過點的動圓恒與軸相切，為該圓的直徑，設點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點的任意直線與曲線交于點，為的中點，過點作軸的平行線交曲線于點，關于點的對稱點為，除以外，直線與是否有其它公共點？說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設動圓經(jīng)過點，且與圓為圓心）相內切．

（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡的方程；

（Ⅱ）設經(jīng)過的直線與軌跡交于、兩點，且滿足的點也在軌跡上，求四邊形的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】己知函數(shù).

（1）若，解不等式；

（2）如果對于，恒有，求的取值范圍.

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