Question

已知圓C：x2+y2-2tx-

4

t

y=0(t∈R，t≠0)與x軸交于點O、A，與y軸交于點O、B，其中O為原點．
（1）求證：△OAB的面積為定值；
（2）設(shè)直線y=-2x+4與圓C交于點M、N，若|OM|=|ON|，求圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意知A（2t，0），B(0，

4

t

)，進而表示出面積即可得到答案．
（2）由OM=ON，CM=CN可得OC垂直平分線段MN，根據(jù)題意得到直線OC的方程是y=

1

2

x，所以t=2或t=-2，再分別驗證t的數(shù)值是否正確，進而得到答案．

解答：解：（1）由題意知A（2t，0），B(0，

4

t

)
∴S△OAB=

1

2

OA×OB=

1

2

×|

4

t

|×|2t|=4，
所以△OAB的面積為定值．
（2）∵OM=ON，CM=CN，
∴OC垂直平分線段MN．
∵k_MN=-2，
∴koc=

1

2

，
∴直線OC的方程是y=

1

2

x．
又因為圓心C（t，

2

t

），
所以

2

t

=

1

2

t，解得：t=2或t=-2．
①當(dāng)t=2時，圓心C的坐標(biāo)為（2，1），OC=

5

，
此時C到直線y=-2x+4的距離d=

1

5

＜

5

，圓C與直線y=-2x+4相交于兩點．
②當(dāng)t=-2時，圓心C的坐標(biāo)為（-2，-1），OC=

5

，
此時C到直線y=-2x+4的距離d=

9

5

＞

5

，圓C與直線y=-2x+4不相交，∴t=-2不符合題意舍去．
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5．

點評：本題主要考查圓與直線的方程，以及直線與圓的位置關(guān)系，并且熟練掌握運用點到直線的距離公式判斷直線與圓的位置關(guān)系，是一道中檔題．