Question

已知函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，有f（x）=

2 π |x-π|，x＞ π 2 sinx，0≤x≤ π 2

，若關(guān)于x的方程f（x）=m（m∈R）有且僅有四個不同的實數(shù)根，且α是四個根中最大根，則α=

3π

2

．

Answer 1

分析：因為y=f（x）是R上的偶函數(shù)，要使關(guān)于x的方程f（x）=m（m∈R）有且僅有四個不同的實數(shù)根，則只需當(dāng)x≥0時，方程f（x）=m（m∈R）有且僅有2個不同的實數(shù)根即可，做出函數(shù)f（x）在x≥0的圖象由圖象即可判斷．

解答：解：要使關(guān)于x的方程f（x）=m（m∈R）有且僅有四個不同的實數(shù)根，則只需當(dāng)x≥0時，方程f（x）=m（m∈R）有且僅有2個不同的實數(shù)根即可，
做出函數(shù)f（x）在x≥0的圖象如圖：
由圖象可知，當(dāng)x=

π

2

時f（

π

2

）=1.

2

π

•|

π

2

-π|=1，
當(dāng)根據(jù)圖象可知要使f（x）=m（m∈R）有且僅有2個不同的實數(shù)根，則m=1，
此時由

2

π

|x-π|=1得x=

π

2

或x=

3π

2

．
故答案為：

3π

2

．

點評：本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用以及函數(shù)與方程之間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．