Question

【題目】已知f（x）=lnx+ax2﹣ax+5，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處有極值，求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）， ；

∵f（x）在x=1處有極值，∴f′（1）=1+2a﹣a=0；

解得：a=﹣1；

此時 ；

當0＜x＜1時f′（x）＞0，當x＞1時f′（x）＜0，符合題意；

∴實數(shù)a的值為﹣1

（2）解：∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；

∴ 在（0，+∞）恒成立；

即2ax2﹣ax+1≥0在（0，+∞）恒成立；

當a＜0時，顯然不符合題意；

當a=0時，1≥0恒成立，符合題意；

當a＞0時，要使 恒成立；

需 ，解得0＜a≤8；

綜上可知實數(shù)a的取值范圍是[0，8]

【解析】（1）求導數(shù)得到 ，根據(jù)f（x）在x=1處有極值便可得到f′（1）=0，從而可求出a的值，并可驗證該值成立；（2）根據(jù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增便可得出f′（x）≥0恒成立，進而得出2ax2﹣ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立，這樣討論a的值：a＜0，a=0，和a＞0這三種情況，對每種情況驗證是否滿足條件，從而求出實數(shù)a的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的極值與導數(shù)的理解，了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．