Question

（2011•東城區(qū)一模）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．cosC=

4

5

，c=2bcosA．
（Ⅰ）求證：A=B；
（Ⅱ）若△ABC的面積S=

15

2

，求c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡c=2bcosA，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式得到sinC=sin（A+B），將得出的sinC代入化簡后的式子中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，移項合并整理后，再根據(jù)兩角和與差的正弦函數(shù)公式得到sin（A-B）=0，根據(jù)A和B為三角形的內(nèi)角，得出A-B的范圍，即可得到A-B=0，即A=B，得證；
（Ⅱ）根據(jù)第一問得出的A=B，根據(jù)等角對等邊可得a=b，由cosC的值及C為三角形的內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值，利用面積公式表示出三角形ABC的面積，把已知三角形的面積及sinC的值代入求出ab的值，再根據(jù)a與b相等，可求出a與b的值，由a，b及cosC的值，利用余弦定理列出關(guān)于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．

解答：解：（Ⅰ）∵c=2bcosA，
∴根據(jù)正弦定理得：sinC=2sinB•cosA，
又sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=2sinB•cosA，
整理得：sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0，
在△ABC中，
∵0＜A＜π，0＜B＜π，
∴-π＜A-B＜π，
則A=B；（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）A=B，可得a=b，
∵cosC=

4

5

，且C為三角形的內(nèi)角，
∴sinC=

1-cos2C

=

3

5

，
又△ABC的面積S=

15

2

，
∴S=

1

2

absinC=

3

10

ab=

15

2

，
即ab=a²=25，
∴a=b=5，又cosC=

4

5

，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=10，
則c=

10

．（13分）

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦、余弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．