在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知點(diǎn)A(-1,1),P是動(dòng)點(diǎn),且△POA的三邊所在直線的斜率滿足kOP+kOA=kPA
(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程
(2)若Q是軌跡C上異于點(diǎn)P的一個(gè)點(diǎn),且
PQ
OA
,直線OP與QA交于點(diǎn)M.
問:是否存在點(diǎn)P,使得△PQA和△PAM的面積滿足S△PQA=2S△PAM?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
分析:(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y).由于kOP+kOA=kPA,利用斜率計(jì)算公式可得
y
x
+(-1)=
y-1
x+1
,化簡(jiǎn)即為點(diǎn)P的軌跡方程.
(2)假設(shè)存在點(diǎn)P(x1,
x
2
1
)
,Q(x2,
x
2
2
)
.使得△PQA和△PAM的面積滿足S△PQA=2S△PAM,分兩種情況討論:
一種是點(diǎn)M為線段AQ的中點(diǎn),另一種是點(diǎn)A是QM的一個(gè)三等分點(diǎn).利用
PQ
OA
,可得PQ∥OA,得kPQ=kAO=-1.再利用分點(diǎn)坐標(biāo)公式,解出即可判斷是否符合條件的點(diǎn)P存在.
解答:解:(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y).∵kOP+kOA=kPA,∴
y
x
+(-1)=
y-1
x+1
,化為y=x2(x≠0,-1).即為點(diǎn)P的軌跡方程.
(2)假設(shè)存在點(diǎn)P(x1,
x
2
1
)
,Q(x2,
x
2
2
)
.使得△PQA和△PAM的面積滿足
S△PQA=2S△PAM,
①如圖所示,點(diǎn)M為線段AQ的中點(diǎn).
PQ
OA
,∴PQ∥OA,得kPQ=kAO=-1.
x
2
2
-
x
2
1
x2-x1
=-1
-1+x2
2
=
x1
2
,解得
x1=-1
x2=0

此時(shí)P(-1,1),Q(0,0)分別與A,O重合,因此不符合題意.
故假設(shè)不成立,此時(shí)不存在滿足條件的點(diǎn)P.
②如圖所示,當(dāng)點(diǎn)M在QA的延長線時(shí),由S△PQA=2S△PAM,
可得
QA
=2
AM
,
PQ
OA
,∴
PO
=2
OM
,PQ∥OA.
由PQ∥OA,可得kPQ=kAO=-1.
設(shè)M(m,n).
QA
=2
AM
,
PO
=2
OM

可得:-1-x2=2(m+1),-x1=2m,
化為x1-x2=3.
聯(lián)立
x1-x2=3
x
2
2
-
x
2
1
x2-x1
=-1
,解得
x1=1
x2=-2
,
此時(shí),P(1,1)滿足條件.
綜上可知:P(1,1)滿足條件.
點(diǎn)評(píng):熟練掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計(jì)算公式、中點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算公式、三角形的面積計(jì)算公式、反證法等是解題的關(guān)鍵.
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在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知圓心在直線y=x+4上,半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.
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3
5
,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
,則sin(α+β)的值是
16
65
16
65

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1
的離心率為
1
2
,則m的值為
4
4

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3t
,0)
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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),且橢圓C的離心率e=
1
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1,A2,Q是橢圓C上異于A1,A2的任一點(diǎn),直線QA1,QA2分別交x軸于點(diǎn)S,T,證明:|OS|•|OT|為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓C上,是否存在點(diǎn)M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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