Question

設函數 f （x）=ax-lnx-3（a∈R），g（x）=xe^1-x．
（Ⅰ）若函數g（x）的圖象在點（0，0）處的切線也恰為f（x）圖象的一條切線，求實數a的值；
（Ⅱ）是否存在實數a，對任意的x∈（0，e]，都有唯一的x₀∈[e^-4，e]，使得f（x₀）=g（x）成立．若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求g（x）的圖象在（0，0）處的切線方程是y=ex，再利用函數g（x）的圖象在點（0，0）處的切線也恰為f（x）圖象的一條切線，可求a的值；
（Ⅱ）先確定函數g（x）的值域，令m=g（x），則原命題等價于對于任意m∈（0，1]，都有唯一的x0∈[e-4，e]，使得f（x₀）=m成立，而f′(x)=a-

1

x

，x∈[e^-4，e]，

1

x

∈[e-1，e4]，分類討論，確定函數的單調性，求函數的最值，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）∵g'（x）=（1-x）e^1-x，∴g'（0）=e，∴g（x）的圖象在（0，0）處的切線方程是y=ex；（2分）
設y=ex與f（x）的圖象切于點（x₀，y₀），而f′(x)=a-

1

x

，∴a-

1

x0

=e且ax₀-lnx₀-3=ex₀，解得a=e²+e；  （5分）
（Ⅱ）∵g'（x）=（1-x）e^1-x，∴g（x）在（0，1]上單調遞增，在[1，e]上單調遞減，
且g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e^2-e∈（0，1），∴g（x）∈（0，1]；      （8分）
若令m=g（x），則原命題等價于對于任意m∈（0，1]，都有唯一的x0∈[e-4，e]，使得f（x₀）=m成立． （9分）
而f′(x)=a-

1

x

，x∈[e^-4，e]，

1

x

∈[e-1，e4]
①當a≤0時，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在x∈[e^-4，e]上單調遞減，要滿足條件，則必須有fmax=f(e-4)=ae-4+1≥1，且f_min=f（e）=ae-4≤0，無解，所以此時不存在滿足條件的a；（10分）
②當0＜a≤e^-1，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在x∈[e^-4，e]上單調遞減，要滿足條件，則必須有fmax=f(e-4)=ae-4+1≥1，且f_min=f（e）=ae-4≤0，解得0≤a≤

4

e

，∴0＜a≤e^-1；（11分）
③當e^-1＜a＜e⁴時，f（x）在區(qū)間(e-4，

1

a

)上單調遞減，在(

1

a

，e)上單調遞增，
又f（e^-4）=ae^-4+1＞1，要滿足條件，則fmin=f(

1

a

)≤f(e)=ae-4≤0，解得a≤

4

e

，∴e-4＜a≤

4

e

；（12分）
④當a≥e⁴時，f'（x）＞0恒成立，所以f（x）在x∈[e^-4，e]上單調遞增，
又fmin=f(e-4)=ae-4+1＞1，所以此時不存在a滿足條件；   （13分）
綜上有0＜a≤

4

e

．   （15分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性與最值，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．