Question

（2012•增城市模擬）已知f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2
（1）求f（x）的最大值及相應(yīng)的x值；
（2）當(dāng)α∈(0，

π

2

)時(shí)，已知f(

α

2

-

π

8

)=

3 2

5

，求f（α）的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為

2

sin(2x+

π

4

)，由此求得f（x）的最大值及相應(yīng)的x值．
（2）由已知f(

α

2

-

π

8

)=

3 2

5

，求出sinα 的值，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cosα的值，代入f（α）=（sinα+cosα）²+2cos²α-2運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：（1）f（x）=1+2sinxcosx+2cos²x-2（1分）
=1+sin2x+1+cos2x-2（3分）
=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)．（5分）
所以f（x）的最大值是

2

，且當(dāng)2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

8

(k∈Z)時(shí)取得  （7分）
（2）∵f(

α

2

-

π

8

)=

2

sin[2(

α

2

-

π

8

)+

π

4

]=

2

sinα，（9分）
∴sinα=

3

5

．（10分）  
又∵α∈(0，

π

2

)，∴cosα=

4

5

，（11分）
∴f（α）=（sinα+cosα）²+2cos²α-2（12分）
=(

7

5

)2+2(

4

5

)2-2（13分）
=

31

25

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．