Question

（2013•日照二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點D（1，

2

2

），焦點為F₁，F(xiàn)₂，滿足

DF1

.

DF2

=

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點A、B，P為橢圓上一點，且滿足

OA

+

OB

=t

OP

（其中O為坐標原點），求整數(shù)t的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把點的坐標代入橢圓方程得到一個關(guān)于a，b的方程，由

DF1

.

DF2

=

1

2

代入坐標后求出c的值，結(jié)合a²-b²=c²得到關(guān)于a，b的另一方程聯(lián)立后可求解a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設(shè)出直線方程，和橢圓聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式大于0求出k的范圍，利用根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點的橫坐標的和與積，代入

OA

+

OB

=t

OP

后得到P點的坐標，把P點坐標代入橢圓方程后得到t與k的關(guān)系，由k的范圍確定t的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由已知過點D(1，

2

2

)，得

1

a2

+

1

2b2

=1，①
記c=

a2-b2

，不妨設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），則

DF

1=（-c-1，-

2

2

），

DF2

=（c-1，-

2

2

），
由

DF

1•

DF2

=

1

2

=(-c-1)(c-1)+(-

2

2

)2，得c²=1，即a²-b²=1．②
由①、②，得a²=2，b²=1．
故橢的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由題意知，直線AB的斜率存在．
設(shè)AB方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）．
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．
△=64k²-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，k2＜

1

2

．
x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

，
∵

OA

+

OB

=t

OP

，∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y）．
x=

x1+x2

t

=

8k2

t(1+2k2)

，y=

y1+y2

t

=

1

t

[k(x1+x2)-4k]=

-4k

t(1+2k2)

∵點P在橢圓上，∴

(8k2)2

t2(1+2k2)2

+2

(-4k)2

t2(1+2k2)2

=2．
∴16k²=t²（1+2k²），t2=

16k2

1+2k2

=

16

1 k2 +2

＜

16

2+2

=4，
∴-2＜t＜2．
∴t的最大整數(shù)值為1．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了平面向量的坐標運算，訓(xùn)練了利用代入法求解變量的取值范圍．屬中檔題．