Question

Rt△ABC中，AB為斜邊，

AB

•

AC

=9，S_△ABC=6，設(shè)P是△ABC（含邊界）內(nèi)一點(diǎn)，P到三邊AB，BC，AC的距離分別為x，y，z，則x+y+z的取值范圍是

[

12

5

，4]

．

Answer 1

分析：設(shè)三邊分別為a，b，c，利用正弦定理和余弦定理結(jié)合向量條件利用三角形面積公式即可求出三邊長(zhǎng)．欲求x+y+z的取值范圍，利用坐標(biāo)法，將三角形ABC放置在直角坐標(biāo)系中，通過(guò)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離將求x+y+z的范圍轉(zhuǎn)化為x+y+z=

m+2n+12

5

，然后結(jié)合線(xiàn)性規(guī)劃的思想方法求出范圍即可．

解答：解：△ABC為Rt△ABC，且∠C=90°，
設(shè)三角形三內(nèi)角A、B、C對(duì)應(yīng)的三邊分別為a，b，c，
∵

AB • AC = AB |• AC |cos A=9(1) S△ABC= 1 2 AB |? AC |sin A=6(2)

（1）÷（2），得 tanA=

4

3

=

a

b

，
令a=4k，b=3k（k＞0）
則 S△ABC=

1

2

ab=6⇒k=1∴三邊長(zhǎng)分別為3，4，5．
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)CA為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，
則A、B坐標(biāo)為（3，0），（0，4），直線(xiàn)AB方程為4x+3y-12=0．
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），則由P到三邊AB、BC、AB的距離為x，y，z．
可知 x+y+z=m+n+

|4m+3n-12|

5

，
且

m≥0 n≥0 4m+3n-12≤0

，
故x+y+z=

m+2n+12

5

，
令d=m+2n，由線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)可知，如圖：
當(dāng)直線(xiàn)分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、O時(shí)，x+y+z取得最大、最小值．
故0≤d≤8，故x+y+z的取值范圍是 [

12

5

，4]．
故答案為：[

12

5

，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃思想方法的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．