Question

【題目】設(shè)，為所有滿足下列條件的整數(shù)數(shù)列的個數(shù)：

（1），，且；

（2）不存在、，使得.

試求的值.

Answer 1

【答案】2012

【解析】

將長度為的圓周等分成份，分點(diǎn)依次標(biāo)為0，1，…，.再將標(biāo)的分點(diǎn)染為黑色，其他個分點(diǎn)染為白色.則題設(shè)數(shù)列與以下染法一一對應(yīng)：

（1）標(biāo)0的點(diǎn)為黑點(diǎn)，且黑點(diǎn)將圓周分成段圓弧，每段弧長為1或2或3；

（2）圓周上沒有兩個黑點(diǎn)為對徑點(diǎn)，即黑點(diǎn)與白點(diǎn)一一對應(yīng)，組成對徑點(diǎn).

顯然，不存在相鄰的三個黑點(diǎn).否則，設(shè)、、為相鄰黑點(diǎn).則其對徑點(diǎn)、、為相鄰白點(diǎn)，但包含這三個白點(diǎn)的弧長大于3，矛盾.

從而，滿足（1）、（2）的染法為標(biāo)0的點(diǎn)為黑色，將各點(diǎn)染黑、白兩色，使得其中沒有相鄰的三個點(diǎn)同色，再對應(yīng)地將點(diǎn)染色（染黑色染白色）.

首先，對長為的圓弧各分點(diǎn)染兩色，使得兩端點(diǎn)為黑色，且沒有相鄰的三個點(diǎn)同色.

設(shè)其染法個數(shù)為.易知，，，.

對，考慮最后一段以黑點(diǎn)為端點(diǎn)的圓弧.

若其弧長為3，則相應(yīng)染法個數(shù)為；

若其弧長為2，則相應(yīng)染法個數(shù)為；

若其弧長為1，則其相鄰的弧長為2或3，其染法個數(shù)為.

故.

下面求滿足（1）、（2）的染法個數(shù).

若點(diǎn)為黑色，則染法個數(shù)為.

若點(diǎn)為白色，而為白色，則、為黑色，1為白色.如果2為黑色，則染法個數(shù)為；如果2為白色，則3為黑色，染法個數(shù)為.從而，

.①

逐項計算得

，，，，，，，，，，.

由式①得

，

，

.

故.