Question

12．已知圓C：x²+y²+8y+12=0，直線(xiàn)l：ax+y+2a=0．
（1）當(dāng)a為何值時(shí)，直線(xiàn)l與圓C相切；
（2）當(dāng)直線(xiàn)l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=2$\sqrt{2}$時(shí)，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析 （1）若直線(xiàn)l與圓C相切，則有$\frac{|-4+2a|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=2，即可求出a；
（2）過(guò)圓心C作CD⊥AB，則根據(jù)題意和圓的性質(zhì)，|CD|=$\frac{|-4+2a|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，即可求直線(xiàn)l的方程．

解答 解：將圓C的方程x²+y²-8y+12=0配方得標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+（y+4）²=4，則此圓的圓心為（0，-4），半徑為2．
（1）若直線(xiàn)l與圓C相切，
則有$\frac{|-4+2a|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=2，∴a=$\frac{3}{4}$；         （6分）
（2）過(guò)圓心C作CD⊥AB，則根據(jù)題意和圓的性質(zhì)，
|CD|=$\frac{|-4+2a|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，∴a=1或7．
故所求直線(xiàn)方程為7x+y+14=0或x+y+2=0．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．