Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁=2，公比為q（q為正整數(shù)），且滿足3a₃是8a₁與a₅的等差中項(xiàng)；數(shù)列{a_n}滿足2n²-（t+b_n）n+b_n=0（t∈R，n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）試確定實(shí)數(shù)t的值，使得數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列．

Answer 1

解：（1）由題意，6a₃=8a₁+a₅，則6q²=8+q⁴，解得q²=4或q²=2，
因?yàn)閝為正整數(shù)，所以q=2，又a₁=2，所以a_n=2ⁿ
（2）當(dāng)n=1時(shí)，2-（t+b₁）b₁=0，得b₁=2t-4，
同理可得：n=2時(shí)，b₂=16-4t，n=3時(shí)，b₃=12-2t，
則由b₁+b₃=2b₂，得t=3，
并且，當(dāng)t=3時(shí)，，
得b_n=2n，由b_n+1-b_n=2，知此時(shí)數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列．
故答案為：t=3．
分析：（1）由題意，6a₃=8a₁+a₅，則6q²=8+q⁴，解得q²=4或q²=2，因?yàn)閝為正整數(shù)，所以q=2，故可得通項(xiàng)；
（2）分別令n=1，2，3，可得得b₁=2t-4，b₂=16-4t，b₃=12-2t，由b₁+b₃=2b₂，可得得t=3，代入原式可得，得b_n=2n，由等差數(shù)列的定義可判．
點(diǎn)評(píng)：本題為等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，正確運(yùn)用公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．