已知函數(shù)y=sinx+cosx,給出下列四個命題:
(1)若x∈[0,
π
2
]
,則y∈(0,
2
]
;
(2)直線x=-
4
是函數(shù)y=sinx+cosx圖象的一條對稱軸;
(3)在區(qū)間[
π
4
,
4
]
上函數(shù)y=sinx+cosx是減函數(shù);
(4)函數(shù)y=sinx+cosx的圖象可由y=
2
sinx
的圖象向右平移
π
4
個單位而得到.其中正確命題的序號是
(2)(3)
(2)(3)
分析:根據(jù)有關(guān)公式化簡可得:y=
2
sin(x+
π
4
),(1)根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得:y∈[1,
2
].(2)當(dāng) x=-
4
時,函數(shù)y=sinx+cosx有最大值-
2
.(3)由三角函數(shù)的性質(zhì)可得:函數(shù)y=
2
sin(x+
π
4
)的單調(diào)減區(qū)間為:[2kπ+
π
4
,2kπ+
4
],k∈Z
.(4)函數(shù)y=
2
sinx
的圖象向右平移
π
4
個單位得到函數(shù)y=
2
sin(x-
π
4
)的圖象.
解答:解:由題意可得:函數(shù)y=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
),
因為x∈[0,
π
2
],所以根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得:y∈[1,
2
],所以(1)錯誤;
當(dāng) x=-
4
時,函數(shù)y=sinx+cosx有最大值-
2
,所以x=-
4
是函數(shù)y=sinx+cosx圖象的一條對稱軸,所以(2)正確;
由三角函數(shù)的性質(zhì)可得:函數(shù)y=
2
sin(x+
π
4
)的單調(diào)減區(qū)間為:[2kπ+
π
4
,2kπ+
4
],k∈Z
,
所以在區(qū)間 [
π
4
,
4
]
上函數(shù)y=sinx+cosx是減函數(shù),所以(3)正確;
函數(shù)y=
2
sinx
的圖象向右平移
π
4
個單位得到函數(shù)y=
2
sin(x-
π
4
)的圖象,所以(4)錯誤.
故答案為:(2)(3).
點評:解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)與函數(shù)圖象的平移變換,以及正弦函數(shù)的定義域和值域,正弦函數(shù)的單調(diào)性,正弦函數(shù)的對稱性,考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力,是基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=(sinx+cosx)2+2
3
cos2x
求它的最大、最小值,并指明函數(shù)取最大、最小值時相應(yīng)x的取值集合.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=sinx+
3
cosx

(1)求它的最小正周期和最大值;
(2)求它的遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=sinx在點(
π
3
,
3
2
)
的切線與y=log2x在點A處的切線平行,則點A的橫坐標(biāo)是
2log2e.(注:填
2
ln2
也給分)
2log2e.(注:填
2
ln2
也給分)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=sinx+cosx,y=2
2
sinxcosx
,則下列結(jié)論中,正確的序號是

①兩函數(shù)的圖象均關(guān)于點(-
π
4
,0)成中心對稱;
②兩函數(shù)的圖象均關(guān)于直線x=-
π
4
成軸對稱;
③兩函數(shù)在區(qū)間(-
π
4
,
π
4
)上都是單調(diào)增函數(shù); 
④兩函數(shù)的最小正周期相同.

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