Question

【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，已知直線l的參數(shù)方程為 ，（t為參數(shù)，0＜θ＜π），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2α﹣2cosα=0．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)θ變化時(shí)，求|AB|的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2α﹣2cosα=0，

∴ρ2sin2α=2ρcosα，

∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=2x．

（2）解：直線l的參數(shù)方程 ，（t為參數(shù)，0＜θ＜π），

把直線的參數(shù)方程化入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，

設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，

則 ，t1t2=﹣ ，

|AB|=|t1﹣t2|=

= = ，

∴當(dāng) 時(shí)，|AB|取最小值2．

【解析】（1）曲線C的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為ρ2sin2α=2ρcosα，由此能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．（2）把直線的參數(shù)方程化入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則|AB|=|t1﹣t2|= ，由此能求出當(dāng) 時(shí)，|AB|取最小值2．