Question

【題目】已知橢圓上的點(diǎn)（不包括橫軸上點(diǎn)）滿(mǎn)足：與，兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率之積等于，，兩點(diǎn)也在曲線(xiàn)上.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為1的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，求；

（3）求橢圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）由題中與，兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率之積等于列出等量關(guān)系，化簡(jiǎn)整理即可求出結(jié)果；

（2）先求出過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線(xiàn)方程，代入橢圓方程，求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)，再由弦長(zhǎng)公式即可求出結(jié)果；

（3）設(shè)出與直線(xiàn)平行、且與橢圓相切的直線(xiàn)方程，代入橢圓方程，由判別式等于0，求出切線(xiàn)方程，再由兩條平行線(xiàn)間的距離公式求解即可.

（1）因?yàn)榕c，兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率之積等于

所以，，

整理得：即為所求;

（2）由題意可得過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線(xiàn)為，代入橢圓方程得，化簡(jiǎn)整理得，所以，或

∴

（3）設(shè)是橢圓的切線(xiàn)，代入橢圓方程得：

則，即

由得.

直線(xiàn)與距離為，

所以當(dāng)時(shí)，距離最小為.