Question

在直角坐標平面內，已知點A（2，0），B（-2，0），P是平面內一動點，直線PA、PB斜率之積為-

3

4

．
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點（

1

2

，0）作直線l與軌跡C交于E、F兩點，線段EF的中點為M，求直線MA的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設P點的坐標為（x，y），依題意，有

y

x-2

-

y

x+2

=-

3

4

(x≠±2)．由此可知動點P的軌跡C的方程．
（Ⅱ）依題意，可設直線l的方程為x=my+

1

2

，由方程組

x=my+ 1 2 x2 4 + y2 3 =1

消去x，并整理得4（3m²+4）y²+12my-45=0，由此入手可推導出直線MA的斜率k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設P點的坐標為（x，y），
依題意，有

y

x-2

-

y

x+2

=-

3

4

(x≠±2)．（3分）
化簡并整理，得

x2

4

+

y2

3

=1(x≠±2)．
∴動點P的軌跡C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1(x≠±2)．（4分）
（Ⅱ）依題意，直線l過點(

1

2

，0)且斜率不為零，故可設其方程為
x=my+

1

2

，（5分）
由方程組

x=my+ 1 2 x2 4 + y2 3 =1

消去x，并整理得
4（3m²+4）y²+12my-45=0（6分）
設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），M（x₀，y₀），則
∴y1+y2=-

3m

3m2+4

，（7分）
∴y0=

y1+y2

2

=-

3m

2(3m2+4)

∴x0=my0+

1

2

=

2

3m2+4

，
∴k=

y0

x0-2

=

m

4m2+4

，（9分）
①當m=0時，k=0；（10分）
②當m≠0時，k=

1

4m+ 4 m

∵|4m+

1

m

|=4|m|+

4

|m|

≥8，∴0＜

1

|4m+ 4 m |

≤

1

8

．
∴0＜|k|≤

1

8

．∴-

1

8

≤k≤

1

8

且k≠0．（11分）
綜合①②可知直線MA的斜率k的取值范圍是：--

1

8

≤k≤

1

8

．（12分）

點評：本題考查軌跡方程的求法和直線方程的知識，解題時要認真審題，注意公式的靈活運用．