Question

【題目】已知f（x）= （x≠0，a＞0）是奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）有最小值2 ．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，2an+1=f（an）﹣an（n∈N*）．令bn= ，求證bn+1=bn2；
（3）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函數(shù)，∴有f（﹣x）=﹣f（x），即 ．

整理得（b﹣ac）x2=c對(duì)x≠0恒成立．∴有 ，∴b=c=0．

∴ ．

∵a＞0，∴當(dāng)x＞0時(shí)，∴ ，∴a=2．∴

（2）解：證明： ．

∵bn= ，

∴ =

（3）解：∵a1=2＞0，∴ ．取對(duì)數(shù)得 ．

由 得bn≠1，∴l(xiāng)gbn≠0．∴有 為常數(shù)．

∴數(shù)列 為等比數(shù)列．

∵ ，∴ ．

∴

【解析】（1）由f（x）是奇函數(shù)，可得f（﹣x）=﹣f（x），解出b，c，再利用基本不等式的性質(zhì)可得a．（2）由2an+1=f（an）﹣an（n∈N*），可得an+1與an的關(guān)系，令bn= ，利用遞推關(guān)系即可證明bn+1=bn2 ． （3）由a1=2＞0，可得 ．取對(duì)數(shù)得 ．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式是解答本題的根本，需要知道如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．