已知函數(shù)f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2ln x，a∈R.

(1)若曲線y＝f(x)在x＝1和x＝3處的切線互相平行，求a的值；

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間．

 

（1）a＝（2）當(dāng)a≤0時f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2)，單調(diào)遞減區(qū)間是(2，＋∞)．當(dāng)0<a<時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2)和，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)a＝時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)．f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)．f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是和(2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是

【解析】f′(x)＝ax－(2a＋1)＋ (x>0)．

(1)由題意得f′(1)＝f′(3)，解得a＝.

(2)f′(x)＝ (x>0)．

①當(dāng)a≤0時，x>0，ax－1<0.在區(qū)間(0,2)上，f′(x)>0；在區(qū)間(2，＋∞)上，f′(x)<0，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2)，單調(diào)遞減區(qū)間是(2，＋∞)．

②當(dāng)0<a<時， >2.在區(qū)間(0,2)和上，f′(x)>0；在區(qū)間上，f′(x)<0.

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2)和，單調(diào)遞減區(qū)間是.

③當(dāng)a＝時，f′(x)＝≥0，

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)．

④當(dāng)a>時，0<<2，在區(qū)間和(2，＋∞)上，f′(x)>0；在區(qū)間上，f′(x)<0.

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是和(2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是

 

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對函數(shù)f(x)＝xsin x，現(xiàn)有下列命題：①函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；②函數(shù)f(x)的最小正周期是2π；③點(diǎn)(π，0)是函數(shù)f(x)的圖象的一個對稱中心；④函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．其中是真命題的是________．(寫出所有真命題的序號)

 

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在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，已知a2－c2＝2b，且sin Acos C＝3cos Asin A，求b＝______.

 

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已知函數(shù)f(x)＝ex－ln(x＋m)．

(1)設(shè)x＝0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)m≤2時，證明f(x)>0.

 

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設(shè)P是函數(shù)y＝ (x＋1)圖象上異于原點(diǎn)的動點(diǎn)，且該圖象在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為θ，則θ的取值范圍是________．

 

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已知a，b為正實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值為4，則f(x)在[－1,0]上的最小值為________．

 

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已知函數(shù)f(x)＝.

(1)若f(x)>k的解集為{x|x<－3，或x>－2}，求k的值；

(2)對任意x>0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范圍．

 

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