Question

已知外接圓的半徑為，且．
（Ⅰ）求邊的長及角的大小；
（Ⅱ）從圓內隨機取一個點，若點取自內的概率恰為，試判斷的形狀．

Answer 1

（Ⅰ），；（Ⅱ）為等邊三角形.

試題分析：（Ⅰ）先利用的定義結合計算出的大小，然后在中利用余弦定理即可求出邊的長，對于角的大小可以根據性質“同弧所對的圓周角是圓心角的一半來計算；（Ⅱ）先利用幾何概型計算出的面積，然后利用三角形的面積公式及余弦定理等求出的三條邊、、的大小，進而確定的形狀.
試題解析：（Ⅰ）依題意，      2分
得，又，故， 4分
又為等腰三角形， 故，      5分
而或．      6分
（Ⅱ）依題意，從圓內隨機取一個點，取自內的概率，
可得．      8分
設，.設，由，得，   ① 
由，得，   ②
聯立①②得,這是不可能的. 所以必有.       9分
由，得，   ①
由，得，  ②   11分
聯立①② 解得.
所以為等邊三角形．      12分