Question

設(shè)C₁，C₂，…，C_n，…是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線y=

3

3

x相切，對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n，圓C_n都與圓C_n+1相互外切，以r_n表示C_n的半徑，以（λ_n，0）表示C_n的圓心，已知{r_n}為遞增數(shù)列．
（1）證明{r_n}為等比數(shù)列（提示：

rn

λn

=sinθ，其中θ為直線y=

3

3

x的傾斜角）；
（2）設(shè)r₁=1，求數(shù)列{

n

rn

}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）在（2）的條件下，若對(duì)任意的正整數(shù)n恒有不等式Sn＞

9

4

-

an

rn

成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意可知tanθ=

3

3

，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得sinθ，從而得

rn

λn

，得r_n與λ_n的關(guān)系式①，再根據(jù)圓C_n都與圓C_n+1相互外切，得λ_n+1-λ_n=r_n+r_n+1②，由①②可得r_n+1與r_n的關(guān)系式，根據(jù)等比數(shù)列的定義可作出判斷；
（2）由（1）易求r_n，從而可得

n

rn

，利用錯(cuò)位相減法可求得S_n；
（3）由（2）可表示出不等式Sn＞

9

4

-

an

rn

，分離出參數(shù)a后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可，利用函數(shù)的單調(diào)性易求函數(shù)的最值；

解答：解：（1）證明：依題意可知tanθ=

3

3

，則sinθ=

1

2

，
所以

rn

λn

=

1

2

，得λ_n=2r_n，∴λ_n+1=2r_n+1，
又圓C_n都與圓C_n+1相互外切，
所以λ_n+1-λ_n=r_n+r_n+1，即2r_n+1-2r_n=r_n+r_n+1，從而可得r_n+1=3r_n，
故數(shù)列{r_n}為等比數(shù)列，公比為3．
（2）由于r₁=1，q=3，故rn=3n-1，從而

n

rn

=

n

3n-1

，
∴Sn=

1

r1

+

2

r2

+…+

n-1

rn-1

+

n

rn

=1+2•3^-1+3•3^-2+…+（n-1）•3^2-n+n•3^1-n①，

1

3

Sn=1•3-1+2•3-2+…+(n-1)•31-n+n•3-n②，
由①-②，得

2

3

Sn=1+3-1+3-2+…+•31-n-n•3-n=

1-3-n

1- 1 3

-n•3-n=

3

2

-(n+

3

2

)•3-n，
∴Sn=

9

4

-

(2n+3)•31-n

4

；
（3）由（2）可知Sn＞

9

4

-

an

rn

可化為

9

4

-

(2n+3)•31-n

4

＞

9

4

-

an

3n-1

，即a＞

2n+3

4n

=

1

2

+

3

4n

，
要使對(duì)任意的正整數(shù)n恒有不等式a＞

2n+3

4n

=

1

2

+

3

4n

成立，只需a＞[

1

2

+

3

4n

]max，
令f(x)=

1

2

+

3

4x

，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞減函數(shù)．
又n∈N^*，∴當(dāng)n=1時(shí)，[

1

2

+

3

4n

]max=

5

4

，
∴a＞

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合、數(shù)列與解析幾何的綜合，考查等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，考查轉(zhuǎn)化思想，對(duì)恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決．