Question

已知橢圓＞b＞0）的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．
（I）求橢圓的方程；
（II）已知點(diǎn)C（m，0）是線(xiàn)段OF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（O為原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)），是否存在過(guò)點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線(xiàn)l與橢圓交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，使|AC|=|BC|，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)橢圓＞b＞0）的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，建立方程組，即可求得橢圓的方程；
（II）設(shè)過(guò)點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線(xiàn)l的方程為：y=k（x-2）代入橢圓方程，消去y可得一元二次方程，求出AB垂直平分線(xiàn)的方程，將C的坐標(biāo)代入，即可求得結(jié)論．
解答：解：（I）由題意，，∴，∴橢圓的方程為；
（II）設(shè)過(guò)點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線(xiàn)l的方程為：y=k（x-2）代入橢圓方程，消去y可得
（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，則△=16k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）=-16k²+8＞0，∴k²＜
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，y₁+y₂=-
∴AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（）
∴AB的垂直平分線(xiàn)的方程為y+=-（x-）
將點(diǎn)C（m，0）代入可得0+=-（m-）
∴m=
∵0＜m＜2
∴恒成立
∴存在過(guò)點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線(xiàn)l與橢圓交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，使|AC|=|BC|．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，確定橢圓的方程，求出AB的垂直平分線(xiàn)的方程是關(guān)鍵．