Question

在古臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3，6，10，15，21，28，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因?yàn)檫@些數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形如圖所示，設(shè)第n個(gè)三角形數(shù)為f（n），則

1

f(1)

+

1

f(2)

+

1

f(3)

…+

1

f(n)

=

2n

n+1

．

Answer 1

分析：通過觀察前幾個(gè)圖形中頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)得，歸納出f（n），然后根據(jù)

1

f(n)

的特點(diǎn)進(jìn)行求和．

解答：解：∵第n個(gè)三角形數(shù)為f（n），則f（1）=1，f（2）=3，f（3）=6，f（4）=10，f（5）=15，f（6）=21，
第二個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)比第一個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)多2，即f（2）-f（1）=2，
第三個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)比第二個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)多3，即f（3）-f（2）=3，
第四個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)比第三個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)多4，即f（4）-f（3）=4，
…
第n個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)比第n-1個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)多n，即f（n）-f（n-1）=n，
等式兩邊同時(shí)相加得：
則f（n）=1+2+3+4+…+n=

n(n+1)

2

，
即

1

f(n)

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴

1

f(1)

+

1

f(2)

+

1

f(3)

…+

1

f(n)

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

．
故答案為：

2n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，根據(jù)條件求出f（n），然后求出f（n）的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)法求和即可．