解:(Ⅰ)因為
,即
,
所以sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB,
即 sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB,
得 sin(C-A)=sin(B-C).
所以C-A=B-C,或C-A=π-(B-C)(不成立).
即 2C=A+B,得C=
,所以B+A=
.
又因為sin(B-A)=cosC=
,
則B-A=
,或B-A=
(舍去)
得A=
,B=
,C=
.
(Ⅱ)∵C=
,C=
,由面積公式得
,即ab=6,
由余弦定理得
,即a
2+b
2-ab=7,②
由②變形得(a+b)
2=25,∴a+b=5.
(Ⅲ)C=
,所以B+A=
,
sinA+sinB=sinA+sin
=
=sin(
).
∵
,∴
,
∴
,∴sinA+sinB∈(0,1],
∴當(dāng)sinA+sinB取最大值時,A=
,∴B=
,
所以此時△ABC是直角三角形.
分析:(Ⅰ)因為
,所以sinCcosA-cosCsinA=cosCsinA-sinCcosB,得 sin(C-A)=sin(B-C).由此能求出A,C.
(Ⅱ)由C=
,C=
,得
,即ab=6,由余弦定理得
,即a
2+b
2-ab=7,由此能求出a+b.
(Ⅲ)C=
,所以B+A=
,sinA+sinB=sinA+sin
=
=sin(
).由此能求出當(dāng)sinA+sinB取最大值時△ABC是直角三角形.
點評:本題考查三角形知識的綜合運用,解題時要認(rèn)真審題,注意余弦定理、三角形面積公式的靈活運用.