Question

在一很大的湖岸邊（可視湖岸為直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開，小船被風(fēng)刮跑，其方向與湖岸成15°角，速度為2.5 km/h，同時(shí)岸邊有一人，從同一地點(diǎn)開始追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4 km/h，在水中游的速度為2 km/h.問此人能否追上小船?若小船速度改變，則小船能被人追上的最大速度是多少？

Answer 1

思路解析：不妨畫一個(gè)圖形，如圖所示.將文字語言翻譯為圖形語言，進(jìn)而想法建立數(shù)學(xué)模型.設(shè)船速為v，顯然v≥4 km/h時(shí)人不可能追上小船，當(dāng)0≤v≤2 km/h時(shí)，人不必在岸上跑，而只要立即從同一地點(diǎn)直接下水就可以追上小船，因此只要考慮2＜v＜4的情況.由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追趕，當(dāng)人沿岸跑的軌跡和人游水的軌跡以及船在水中漂流的軌跡組成一個(gè)封閉的三角形時(shí)，人才能追上小船.

解：設(shè)船速為v，人追上船所用時(shí)間為t，人在岸上跑的時(shí)間為kt(0＜k＜1)，則人在水中游的時(shí)間為(1-k)t，人要追上小船，則人船運(yùn)動(dòng)的路線滿足如圖所示的三角形.

∵|OA|=4kt,|AB|=2(1-k)t,|OB|=vt,

由余弦定理得|AB|²=|OA|²+|OB|²-2|OA|·|OB|·cos15°,

即4(1-k)²t²=(4kt)²+(vt)²-2·4kt·vt·,

整理得12k²-［2()v-8］k+v²-4=0.

要使上式在（0，1）范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)解，則有0＜＜1且Δ=［2()v-8］²-4·12·(v²-4)≥0.

解得2＜v≤2,即v_max=2 km/h.

故當(dāng)船速在（2,2]內(nèi)時(shí)，人船運(yùn)動(dòng)路線可構(gòu)成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度為2 km/h，由此可見當(dāng)船速為2.5 km/h時(shí)，人可以追上小船.