【題目】在△ABC 內(nèi)部取n 個點, 將△ABC剖分為若干個小三角形(每兩個小三角形或者有一個公共頂點,或者有一條公共邊,或者完全沒有公共點,如圖所示).現(xiàn)將點A 染紅色, 點B 染藍(lán)色,點C 染黑色,其余n 個點的每個點也任意染上紅、藍(lán)、黑三色之一.我們稱三個頂點的顏色恰為紅、藍(lán)、黑的小三角形為“特征三角形”.證明:至少有一個小三角形是特征三角形.
【答案】見解析
【解析】
設(shè)在△ABC 內(nèi)部的紅藍(lán)邊(即一端點為紅點, 一端點為藍(lán)點的邊)有條, 又設(shè)三個頂點顏色不同(紅、藍(lán)、黑各一個)的特征三角形共有個, 三頂點分別為紅、紅、藍(lán)或藍(lán)、藍(lán)、紅的小三角形共有個, 其余的小三角形(如頂點顏色為紅、紅、黑;紅、紅、紅;藍(lán)、藍(lán)、黑;藍(lán)、藍(lán)、藍(lán);黑、黑、黑;黑、黑、紅;黑、黑、藍(lán)等)共個.
我們統(tǒng)計每個小三角形紅藍(lán)邊的條數(shù), 再把它們加起來, 總和數(shù)為.
從另一角度看, 由于每一條在大三角形的內(nèi)部的紅藍(lán)邊都為兩個小三角形的公共邊, 即被統(tǒng)計兩次, 而大△ABC 的一條紅藍(lán)邊只屬于一個小三角形, 只計數(shù)一次.所以, 總和數(shù)為.因此,.
從而,是個奇數(shù).
因此, 三個頂點的顏色全不相同的特征三角形個數(shù)p 是奇數(shù), p 最少是1.也就是說至少有一個小三角形是特征三角形.
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【題目】已知集合.對于的一個子集,若存在不大于的正整數(shù),使得對于中的任意一對元素,都有,則稱具有性質(zhì).
(Ⅰ)當(dāng)時,試判斷集合和是否具有性質(zhì)?并說明理由.
(Ⅱ)若時,
①若集合具有性質(zhì),那么集合是否一定具有性質(zhì)?并說明理由;
②若集合具有性質(zhì),求集合中元素個數(shù)的最大值.
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【題目】(1)從區(qū)間內(nèi)任意選取一個實數(shù),求的概率;
(2)從區(qū)間內(nèi)任意選取一個整數(shù),求的概率
【答案】(1) .(2) .
【解析】試題(1)根據(jù)幾何概型概率公式,分別求出滿足不等式的的區(qū)間長度與區(qū)間總長度,求比值即可;(2) 區(qū)間內(nèi)共有個數(shù),滿足的整數(shù)為共有 個,根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.
試題解析: (1)∵,∴,
故由幾何概型可知,所求概率為.
(2)∵,∴,
則在區(qū)間內(nèi)滿足的整數(shù)為5,6,7,8,9,共有5個,
故由古典概型可知,所求概率為.
【方法點睛】本題題主要考查古典概型及“區(qū)間型”的幾何概型,屬于中檔題. 解決幾何概型問題常見類型有:長度型、角度型、面積型、體積型,區(qū)間型,求與區(qū)間有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計算問題題的總區(qū)間 以及事件的區(qū)間;幾何概型問題還有以下幾點容易造成失分,在備考時要高度關(guān)注:(1)不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯誤;(2)基本裏件對應(yīng)的區(qū)域測度把握不準(zhǔn)導(dǎo)致錯誤 ;(3)利用幾何概型的概率公式時 , 忽視驗證事件是否等可能性導(dǎo)致錯誤.
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)的圖象過的(-2,16).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若f(2m+5)<f(3m+3),求m的取值范圍.
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【題目】已知△ABC的頂點A的坐標(biāo)為(5,1),AB邊上的中線CM所在直線方程為2x-y-5=0,AC邊上的高BH所在的直線方程為x-2y-5=0.
(Ⅰ)求頂點C的坐標(biāo);
(Ⅱ)求直線AB的方程.
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【題目】已知函數(shù), .
(1)求證:對,函數(shù)與存在相同的增區(qū)間;
(2)若對任意的, ,都有成立,求正整數(shù)的最大值.
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【題目】已知直線y=k(x﹣m)與拋物線y2=2px(p>0)交于A、B兩點,O為坐標(biāo)原點,OA⊥OB,OD⊥AB于D,點D在曲線x2+y2﹣4x=0上,則p= .
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【題目】已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn , a1= ,公比q>0,S1+a1 , S3+a3 , S2+a2成等差數(shù)列.
(1)求an;
(2)設(shè)bn= ,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn .
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【題目】若函數(shù)y=f(x)滿足:對y=f(x)圖象上任意點P(x1 , f(x1)),總存在點P′(x2 , f(x2))也在y=f(x)圖象上,使得x1x2+f(x1)f(x2)=0成立,稱函數(shù)y=f(x)是“特殊對點函數(shù)”,給出下列五個函數(shù):
①y=x﹣1;
②y=log2x;
③y=sinx+1;
④y=ex﹣2;
⑤y= .
其中是“特殊對點函數(shù)”的序號是(寫出所有正確的序號)
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【題目】如圖,等邊三角形的中線與中位線相交于,已知是繞旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形,下列命題中,錯誤的是
A. 恒有⊥
B. 異面直線與不可能垂直
C. 恒有平面⊥平面
D. 動點在平面上的射影在線段上
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