Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為B（0，4），離心率e=

3

5

．
（Ⅰ） 求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），試探究在橢圓C內(nèi)部是否存在整點(diǎn)Q（平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)），使得△OPQ的面積S_△OPQ=4？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）．

Answer 1

（I）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
根據(jù)題意b=4，

c

a

=

3

5

，∵a²=b²+c²
∴a=5，c=3
∴橢圓的方程是

x2

25

+

y2

16

=1
（II）|OP|=2

2

，直線OP的方程是y=x，
設(shè)與直線OP平行的直線方程為y=x+m，
∵S_△OPQ=4，∴d=

|m|

2

=2

2

?m=±4
∴Q點(diǎn)在直線 y=x±4上，
當(dāng)m=4時(shí)，

y=x+4 x2 25 + y2 16 ＜1

?41x²+200x＜0?-

200

41

＜x＜0，
∵x∈Z，∴x=-4，-3，-2，-1分別對(duì)應(yīng)有四個(gè)整數(shù)點(diǎn)；
當(dāng)m=-4時(shí)，由對(duì)稱性，同理滿足條件的點(diǎn)Q也有四個(gè)，
綜上，存在滿足條件的整數(shù)點(diǎn)有8個(gè)．