Question

【題目】設(shè)數(shù)列滿足，為的前項(xiàng)和.證明：對任意，

（1）當(dāng)時(shí)，；

（2）當(dāng)時(shí)，；

（3）當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】試題解析：

(1)①當(dāng)時(shí)，顯然成立；

②假設(shè)當(dāng)，，

則當(dāng)時(shí)，.

由①②，.

(2)從而，

即，

于是，即；

（3）當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ），，故.

令，由（1）（2），.

由，可得.

從而，

又，

故，即.

注意到，

故，

即，亦即.

所以當(dāng)時(shí)，.

點(diǎn)睛:本題以數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和有關(guān)知識為背景，旨在考查與數(shù)列有關(guān)的不等式的推理論證能力、分析問題解答問題的能力。解答時(shí)，分別采用了分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法、放縮法等常用的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行分析推證。不等式的證明問題是高考和各級各類考試的難點(diǎn)內(nèi)容和題型，求解時(shí)應(yīng)具體問題具體分析靈活采用不同的方法進(jìn)行綜合運(yùn)用，以達(dá)證明之目的。如第一問用的數(shù)學(xué)歸納法，第二問則是采用的分析縮放的思想進(jìn)行推證的，第三問則利用數(shù)列的遞推關(guān)系，巧妙地運(yùn)用縮放的辦法進(jìn)行推證的。