Question

如圖,S是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且SD⊥面ABCD ,AB=1，SB=.

(1)求證：BCSC;

(2) 設(shè)M為棱SA中點(diǎn),求異面直線DM與SB所成角的大小

(3) 求面ASD與面BSC所成二面角的大小;

 

Answer 1

【答案】

(1) 先證BC⊥平面SDC    (2) 異面直線DM與SB所成的角為90°(3) 面ASD與面BSC所成

的二面角為45°

【解析】

試題分析：(1)∵底面ABCD是正方形,∴BC⊥DC.

∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥BC，又DC∩SD=D,

∴BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC.

（2）取AB中點(diǎn)P，連結(jié)MP，DP.

在△ABS中,由中位線定理得MP//SB,或其補(bǔ)角為所求.

,又

∴在△DMP中，有DP²=MP²+DM²， 

即異面直線DM與SB所成的角為90°.

(3).∵SD⊥底面ABCD，且ABCD為正方形，

∴可把四棱錐S—ABCD補(bǔ)形為長(zhǎng)方體A₁B₁C₁S—ABCD，

如圖2,面ASD與面BSC所成的二面角就是面ADSA₁與面

BCSA₁所成的二面角，

∵SC⊥BC，BC//A₁S， ∴SC⊥A₁S，

又SD⊥A₁S，∴∠CSD為所求二面角的平面角.

在R t△SCB中，由勾股定理得SC=，在R t△SDC中,

由勾股定理得SD=1.

∴∠CSD=45°.即面ASD與面BSC所成的二面角為45°.

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法；異面直線及其所成的角．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查異面直線所成角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，解題

時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．