【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x﹣alnx+ .
(Ⅰ)若a>1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若a>3,函數(shù)g(x)=a2x2+3,若存在x1 , x2∈[ ,2],使得|f(x1)﹣g(x2)|<9成立,求a的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)函數(shù)的定義域為(0,+∞),
f′(x)= ,
令f′(x)=0,得x1=1,x2=a﹣1,(a>1),
①當(dāng)a﹣1<1,即1<a<2時,函數(shù)f(x)在(0,a﹣1),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(a﹣1,1)上單調(diào)遞減;
②當(dāng)a﹣1=1,即a=2時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
③當(dāng)a﹣1>1,即a>2時,函數(shù)f(x)在(0,1),(a﹣1,+∞)上單調(diào)遞增,在(1,a﹣1)上單調(diào)遞減;
(Ⅱ)當(dāng)a>3,即a﹣1>2時,函數(shù)f(x)在[ ,1)上為增函數(shù),在(1,2]上為減函數(shù),
所以函數(shù)f(x)在x∈[ ,2]上的最大值為f(1)=2﹣a<0,
因為函數(shù)g(x)在[ ,2]上單調(diào)遞增,
所以g(x)的最小值為g( )= +3>0,
所以g(x)>f(x)在x∈[ ,2]上恒成立,
要存在x1 , x2∈[ ,2],使得|f(x1)﹣g(x2)|<9成立,
只需要g( )﹣f(1)<9,
即 +3+a﹣2<9,解得:﹣8<a<4,
又a>3,所以a的取值范圍是(3,4)
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,確定導(dǎo)函數(shù)的符號,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)分別求出f(x)的最大值和g(x)的最小值,問題轉(zhuǎn)化為g( )﹣f(1)<9,求出a的范圍即可.
【考點精析】通過靈活運用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值即可以解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種商品原來每件售價為25元,年銷售量8萬件.
(1)據(jù)市場調(diào)查,若價格每提高1元,銷售量將相應(yīng)減少2000件,要使銷售的總收入不低于原收入,該商品每件定價最多為多少元?
(2)為了擴大該商品的影響力,提高年銷售量.公司決定明年對該商品進行全面技術(shù)革新和營銷策略改革,并提高定價到元.公司擬投入萬元作為技改費用,投入50萬元作為固定宣傳費用,投入萬元作為浮動宣傳費用.試問:當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達到多少萬件時,才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和?并求出此時商品的每件定價.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在處有一港口,兩艘海輪同時從港口處出發(fā)向正北方向勻速航行,海輪的航行速度為20海里/小時,海輪的航行速度大于海輪.在港口北偏東60°方向上的處有一觀測站,1小時后在處測得與海輪的距離為30海里,且處對兩艘海輪,的視角為30°.
(1)求觀測站到港口的距離;
(2)求海輪的航行速度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓:,點,過點的直線與圓交于不同的兩點(不在y軸上).
(1)若直線的斜率為3,求的長度;
(2)設(shè)直線的斜率分別為,求證:為定值,并求出該定值;
(3)設(shè)的中點為,是否存在直線,使得?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】使用支付寶和微信支付已經(jīng)成為廣大消費者最主要的消費支付方式,某超市通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)一周內(nèi)超市每天的凈利潤(萬元)與每天使用支付寶和微信支付的人數(shù)(千人)具有線性相關(guān)關(guān)系,并得到最近一周的7組數(shù)據(jù)如下表,并依此作為決策依據(jù).
(1)作出散點圖,并求出回歸方程(,精確到);
(2)超市為了刺激周一消費,擬在周一開展使用支付寶和微信支付隨機抽獎活動,總獎金7萬元.根據(jù)市場調(diào)查,抽獎活動能使使用支付寶和微信支付消費人數(shù)增加7千人,試決策超市是否有必要開
展抽獎活動?
(3)超市管理層決定:從周一到周日,若第二天的凈利潤比前一天增長超過兩成,則對全體員工進行獎勵,在(Ⅱ)的決策下,求全體員工連續(xù)兩天獲得獎勵的概率.
參考數(shù)據(jù): ,,,.
參考公式:,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市通過隨機詢問100名不同年級的學(xué)生是否能做到“扶跌倒老人”,得到如下列聯(lián)表:
做不到 | 能做到 | |
高年級 | 45 | 10 |
低年級 | 30 | 15 |
則下列結(jié)論正確的是( )
附參照表:
0.10 | 0.025 | 0.01 | |
2.706 | 5.024 | 6.635 |
參考公式:,其中
A. 在犯錯誤的概率不超過的前提下,認為“學(xué)生能否做到‘扶跌倒老人’與年級高低有關(guān)”
B. 在犯錯誤的概率不超過的前提下,“學(xué)生能否做到‘扶跌倒老人’與年級高低無關(guān)”
C. 有以上的把握認為“學(xué)生能否做到‘扶跌倒老人’與年級高低有關(guān)”
D. 有以上的把握認為“學(xué)生能否做到‘扶跌倒老人’與年級高低無關(guān)”
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