Question

已知集合A={1，2，3，…，2n}（n∈N^*）．對(duì)于A的一個(gè)子集S，若存在不大于n的正整數(shù)m，使得對(duì)于S中的任意一對(duì)元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，則稱(chēng)S具有性質(zhì)P．
（Ⅰ）當(dāng)n=10時(shí)，試判斷集合B={x∈A|x＞9}和C={x∈A|x=3k-1，k∈N^*}是否具有性質(zhì)P？并說(shuō)明理由．
（Ⅱ）若n=1000時(shí)
①若集合S具有性質(zhì)P，那么集合T={2001-x|x∈S}是否一定具有性質(zhì)P？并說(shuō)明理由；
②若集合S具有性質(zhì)P，求集合S中元素個(gè)數(shù)的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)n=10時(shí)，集合A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}，根據(jù)性質(zhì)P的定義可知其不具有性質(zhì)P；C={x∈A|x=3k-1，k∈N^*}，令m=1＜10，利用性質(zhì)P的定義即可驗(yàn)證|c₁-c₂|≠1；（Ⅱ）當(dāng)n=1000時(shí)，則A={1，2，3，…，1999，2000}，①根據(jù)T={2001-x|x∈S}，任取t=2001-x₀∈T，其中x₀∈S，可得1≤2001-x₀≤2000，利用性質(zhì)P的定義加以驗(yàn)證即可說(shuō)明集合T={2001-x|x∈S}具有性質(zhì)P；②設(shè)集合S有k個(gè)元素．由第①問(wèn)知，任給x∈S，1≤x≤2000，則x與2001-x中必有一個(gè)不超過(guò)1000，從而得到集合S與T中必有一個(gè)集合中至少存在一半元素不超過(guò)1000，然后利用性質(zhì)P的定義進(jìn)行分析即可求得k+

k

2

≤k+t≤2000，即k+

k

2

≤2000，解此不等式得k≤1333．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=10時(shí)，集合A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}不具有性質(zhì)P．（1分）
因?yàn)閷?duì)任意不大于10的正整數(shù)m，
都可以找到該集合中兩個(gè)元素b₁=10與b₂=10+m，使得|b₁-b₂|=m成立．（2分）
集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N^*}具有性質(zhì)P．（3分）
因?yàn)榭扇�m=1＜10，對(duì)于該集合中任意一對(duì)元素c₁=3k₁-1，c₂=3k₂-1，k₁，k₂∈N^*
都有|c₁-c₂|=3|k₁-k₂|≠1．（4分）
（Ⅱ）當(dāng)n=1000時(shí)，則A={1，2，3，…，1999，2000}
①若集合S具有性質(zhì)P，那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性質(zhì)P．（5分）
首先因?yàn)門(mén)={2001-x|x∈S}，任取t=2001-x₀∈T，其中x₀∈S，
因?yàn)镾⊆A，所以x₀∈{1，2，3，…，2000}，
從而1≤2001-x₀≤2000，即t∈A，所以T⊆A．（6分）
由S具有性質(zhì)P，可知存在不大于1000的正整數(shù)m，
使得對(duì)S中的任意一對(duì)元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m．
對(duì)于上述正整數(shù)m，
從集合T={2001-x|x∈S}中任取一對(duì)元素t₁=2001-x₁，t₂=2001-x₂，其中x₁，x₂∈S，
則有|t₁-t₂|=|x₁-x₂|≠m，
所以集合T={2001-x|x∈S}具有性質(zhì)P．（8分）
②設(shè)集合S有k個(gè)元素．由第①問(wèn)知，若集合S具有性質(zhì)P，那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性質(zhì)P．
任給x∈S，1≤x≤2000，則x與2001-x中必有一個(gè)不超過(guò)1000，
所以集合S與T中必有一個(gè)集合中至少存在一半元素不超過(guò)1000，
不妨設(shè)S中有t(t≥

k

2

)個(gè)元素b₁，b₂，…，b_t不超過(guò)1000．
由集合S具有性質(zhì)P，可知存在正整數(shù)m≤1000，
使得對(duì)S中任意兩個(gè)元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，
所以一定有b₁+m，b₂+m，…，b_t+m∉S．
又b_i+m≤1000+1000=2000，故b₁+m，b₂+m，…，b_t+m∈A，
即集合A中至少有t個(gè)元素不在子集S中，
因此k+

k

2

≤k+t≤2000，所以k+

k

2

≤2000，得k≤1333，
當(dāng)S={1，2，…，665，666，1334，…，1999，2000}時(shí)，
取m=667，則易知對(duì)集合S中任意兩個(gè)元素y₁，y₂，
都有|y₁-y₂|≠667，即集合S具有性質(zhì)P，
而此時(shí)集合S中有1333個(gè)元素．
因此集合S元素個(gè)數(shù)的最大值是1333．（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題是中檔題．考查集合之間的包含關(guān)系的判斷方法，以及元素與集合之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，是新定義題，在解題時(shí)注意對(duì)新概念的理解與把握是解題的關(guān)鍵，此題對(duì)學(xué)生的抽象思維能力要求較高，特別是對(duì)數(shù)的分析．