Question

如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，E、F是AA₁、AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：直線EE₁∥平面FCC₁；
（Ⅱ）求二面角B-FC₁-C的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）構(gòu)造DM⊥CD，則以DM為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，欲證直線EE₁∥平面FCC₁，只需證明

EE1

垂直于平面FCC₁的法向量即可．其中

EE1

的坐標(biāo)由點(diǎn)E、E₁的坐標(biāo)易得，而平面FCC₁的法向量需設(shè)出后根據(jù)其與

CF

、

CC1

垂直得到．
（Ⅱ）在（Ⅰ）所建立的空間直角坐標(biāo)系中，平面FCC₁的法向量已求得，而平面BFC₁的法向量可設(shè)出后由其與

FB

、

FC1

垂直得到，此時(shí)求出兩法向量的夾角余弦值，則易得二面角B-FC₁-C的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：因?yàn)锳B=4，BC=CD=2，F(xiàn)是棱AB的中點(diǎn)，
所以BF=BC=CF，△BCF為正三角形，
因?yàn)锳BCD為等腰梯形，所以∠BAD=∠ABC=60°，
取AF的中點(diǎn)M，并連接DM，則DM⊥AB，所以DM⊥CD，
以DM為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（

3

，-1，0），F(xiàn)（

3

，1，0），C（0，2，0），
C₁（0，2，2），E（

3

2

，-

1

2

，0），E₁（

3

，-1，1），
所以

EE1

=(

3

2

，-

1

2

，1)，

CF

=(

3

，-1，0)，

CC1

=(0，0，2)，

FC1

=(-

3

，1，2)
設(shè)平面CC₁F的法向量為

n

=(x，y，z)
則

n • CF =0 n • CC1 =0

所以

3 x-y=0 z=0

取

n

=(1，

3

，0)，
則

n

•

EE1

=

3

2

×1-

1

2

×

3

+1×0=0，
所以

n

⊥

EE1

，所以直線EE₁∥平面FCC₁．

（Ⅱ）解：

FB

=(0，2，0)，
設(shè)平面BFC₁的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，
則

n1 • FB =0 n1 • FC1 =0

所以

y1=0 - 3 x1+y1+2z1=0

，
取

n1

=(2，0，

3

)，
則

n

•

n1

=2×1-

3

×0+0×

3

=2，|

n

|=

1+( 3 )2

=2，
|

n1

|=

22+0+( 3 )2

=

7

，
所以cos?

n

，

n1

?=

n • n1

| n || n1|

=

2

2× 7

=

7

7

，
由圖可知二面角B-FC₁-C為銳角，所以二面角B-FC₁-C的余弦值為

7

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量法解決空間問(wèn)題．