Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率e= ，且點(diǎn)P（2，1）在橢圓C上． （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)A、B都在橢圓C上，且AB中點(diǎn)M在線段OP（不包括端點(diǎn)）上．求△AOB面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意得： ，解得 ， ∴橢圓C的方程為 ；
（Ⅱ）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（x0 ， y0），直線AB的斜率為k，
則 ，兩式作差可得 ，得 ，
又直線OP： ，M在線段OP上，
∴ ，解得k=﹣1．
設(shè)直線AB的方程為y=﹣x+m，m∈（0，3），
聯(lián)立 ，得3x2﹣4mx+2m2﹣6=0，
△=16m2﹣12（2m2﹣6）=72﹣8m2＞0，得﹣3＜m＜3．
．
∴|AB|= ，原點(diǎn)到直線的距離d= ，
∴ ．
當(dāng)且僅當(dāng) ∈（0，3）時(shí)，等號(hào)成立．
∴△OAB面積的最大值
【解析】（Ⅰ）由題意列出關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組可得a，b的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）利用“點(diǎn)差法”求出A，B所在直線的斜率，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，由弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)到直線AB的距離，代入三角形面積公式，利用基本不等式求得最值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能正確解答此題．