設(shè)函數(shù)f(x)=-x3-2mx2-m2x+1-m(其中m>-2)的圖象在x=2處的切線與直線y=-5x+12平行.
(1)求m的值;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]的最小值;
(3)若a≥0,b≥0,c≥0,且a+b+c=1,試根據(jù)上述(1)、(2)的結(jié)論證明:
a
1+a2
+
b
1+b2
+
c
1+c2
9
10
分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),f'(x)=-3x2-4mx-m2,函數(shù)f(x)圖象在x=2處的切線與直線y=-5x+12平行,可得函數(shù)f(x)=-x3-2mx2-m2x+1-m的圖象在x=2處的切線得斜率為-5,也即f′(2)=-5,代入f'(x)=-3x2-4mx-m2即可求解m的值.
(2)求出函數(shù)的f(x)的導(dǎo)數(shù),令f′(x)=0,求出其極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間,導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求解最值.
(3)根據(jù)f(x)=-x3+2x2-x+2=(1+x2)(2-x),由(2)的結(jié)論,可得
1
1+x2
≤ 
27
50
(2-x)
,再根據(jù)已知條件,利用不等式間的等價(jià)轉(zhuǎn)化求解.
解答:解:(1)∵f'(x)=-3x2-4mx-m2,所以f'(2)=-12-8m-m2=-5,
解得m=-1或m=-7(舍),即m=-1(3分)
(2)由f'(x)=-3x2+4x-1=0,解得x1=1,x2=
1
3
,
精英家教網(wǎng)
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]的最小值為f(
1
3
)=
50
27


(3)∵f(x)=-x3+2x2-x+2=(1+x2)(2-x),
由(2)知,當(dāng)x∈[0,1]時(shí),(1+x2) (2-x)≥
50
27
,
1
1+x2
≤ 
27
50
(2-x)
,
x
1+x2
27
50
(2x-x2)

當(dāng)a≥0,b≥0,c≥0,且a+b+c=1時(shí),0≤a≤1,0≤b≤1,0≤c≤1,
所以
a
1+a2
+
b
1+b2
+
c
1+c2
27
50
[2(a+b+c)-(a2+b2+c2)]=
27
50
[2-(a2+b2+c2)]

又因?yàn)椋╝+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤3(a2+b2+c2),
所以a2+b2+c2
1
3

a
1+a2
+
b
1+b2
+
c
1+c2
27
50
(2-
1
3
)=
9
10
(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=
1
3
時(shí)取等號(hào)).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查區(qū)間上的最值問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是要對(duì)函數(shù)進(jìn)行正確的求導(dǎo),第三問(wèn)要求掌握不等式間的等價(jià)轉(zhuǎn)化,本題難度比較大,是一道難題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳,若存在非零實(shí)數(shù)t,使得對(duì)于任意x∈C(C⊆A),有x+t∈A,且f(x+t)≤f(x),則稱f(x)為C上的t低調(diào)函數(shù).如果定義域?yàn)閇0,+∞)的函數(shù)f(x)=-|x-m2|+m2,且 f(x)為[0,+∞)上的10低調(diào)函數(shù),那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是(  )
A、[-5,5]
B、[-
5
,
5
]
C、[-
10
,
10
]
D、[-
5
2
,
5
2
]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+2)=f(x)恒成立;當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x3-4x+3.有下列命題:
f(-
3
4
) <f(
15
2
)
;
②當(dāng)x∈[-1,0]時(shí)f(x)=x3+4x+3;
③f(x)(x≥0)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列;
④關(guān)于x的方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上有7個(gè)不同的根.
其中真命題的個(gè)數(shù)為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:徐州模擬 題型:解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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