已知△OAB是邊長(zhǎng)為4的正三角形,CO⊥平面OAB,且CO=2,設(shè)D、E分別是OA、AB的中點(diǎn).
(1)求證:OB∥平面CDE;
(2)求點(diǎn)B到平面CDE的距離;
(3)求二面角O-CD-E的大。

(1)證明:∵DE是△AOB的中位線
∴DE∥OB
DE?平面CDE
OB?平面CDE
∴OB∥平面CDE
(2)作OM⊥直線DE于M點(diǎn),
∵CO⊥平面OAB,由三垂線定理CM⊥DE,作OH⊥CM于H
則OH⊥相交直線CM、ME,∴OH⊥平面CDE
故OH為所求
易知,OM=,∴

(3)過點(diǎn)E作EF垂直于OA,垂足為F,過點(diǎn)E作EG垂直于CD,連接FG,則∠EGF為所求二面角的補(bǔ)角
在三角形CDE中,利用等面積可得EG=
又EF=

∴二面角O-CD-E的大小
分析:(1)利用DE是△AOB的中位線,可知DE∥OB,根據(jù)線面平行的判定定理,從而可證OB∥平面CDE
(2)作OM⊥直線DE于M點(diǎn),關(guān)鍵CO⊥平面OAB,由三垂線定理CM⊥DE,作OH⊥CM于H
則OH⊥相交直線CM、ME,,根據(jù)線面垂直的判定理,可得OH⊥平面CDE,故OH為所求
(3)過點(diǎn)E作EF垂直于OA,垂足為F,過點(diǎn)E作EG垂直于CD,連接FG,則∠EGF為所求二面角的補(bǔ)角,從而可求二面角O-CD-E的大小
點(diǎn)評(píng):本題以線面垂直為載體,考查線面平行,考查點(diǎn)面距離,考查二面角的大小,綜合性較強(qiáng).
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已知△OAB是邊長(zhǎng)為2的正三角形,記△OAB位于直線x=t(t>0)左側(cè)的圖形的面積為f(t),求函數(shù)f(t)的表達(dá)式.

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