Question

（05年湖北卷）（12分）

設A、B是橢圓上的兩點，點N（1，3）是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點.

     （Ⅰ）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；

（Ⅱ）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點在同一個圓上？并說明理由.

        （此題不要求在答題卡上畫圖）

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）解法1：依題意，可設直線AB的方程為，整理得   ①

    設是方程①的兩個不同的根，

    ∴   ②

    且由N（1，3）是線段AB的中點，得

    

    解得k=－1，代入②得，的取值范圍是（12，+∞）.

    于是，直線AB的方程為

    解法2：設則有

   

    依題意，

∵N（1，3）是AB的中點，  ∴

又由N（1，3）在橢圓內，∴

∴的取值范圍是（12，+∞）.

直線AB的方程為y－3=－（x－1），即x+y－4=0.

   （Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直線CD的方程為y－3=x－1，即x－y+2=0，

代入橢圓方程，整理得  

又設CD的中點為是方程③的兩根，

∴

于是由弦長公式可得    ④

將直線AB的方程x+y－4=0，代入橢圓方程得  ⑤

同理可得    ⑥

∵當時，

假設存在>12，使得A、B、C、D四點共圓，則CD必為圓的直徑，點M為圓心.

點M到直線AB的距離為   ⑦

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

故當>12時，A、B、C、D四點勻在以M為圓心，為半徑的圓上.

   （注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：）

A、B、C、D共圓△ACD為直角三角形，A為直角|AN|²=|CN|?|DN|，

即    ⑧

由⑥式知，⑧式左邊

由④和⑦知，⑧式右邊

∴⑧式成立，即A、B、C、D四點共圓.

解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,

∵CD垂直平分AB， ∴直線CD方程為，代入橢圓方程，整理得

   ③

將直線AB的方程x+y－4=0，代入橢圓方程，整理得

  ⑤

解③和⑤式可得  

不妨設

∴

計算可得，∴A在以CD為直徑的圓上.

又B為A關于CD的對稱點，∴A、B、C、D四點共圓.

（注：也可用勾股定理證明AC⊥AD）