已知定圓，動圓過點且與圓相切，記動圓圓
心的軌跡為．
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）若點為曲線上任意一點，證明直線與曲線恒有且只有一個公共點．
（Ⅲ）由（Ⅱ）你能否得到一個更一般的結(jié)論？并且對雙曲線寫出一個類似的結(jié)論（皆不必證明）．

解：（Ⅰ）由題知圓圓心為，半徑為，設(shè)動圓的圓心為
半徑為，，由,可知點在圓內(nèi)，所以點的軌跡是以為焦點
的橢圓，設(shè)橢圓的方程為，由，得，
故曲線的方程為                 ………………………………4分
（Ⅱ）當(dāng)時，由可得
當(dāng)，時，直線的方程為，直線與曲線有且只有一個交點
當(dāng)，時，直線的方程為，直線與曲線有且只有一個交點
當(dāng)時得，代入，消去整理得：
--------------------------------① …………6分
由點為曲線上一點，故．即
于是方程①可以化簡為：
解得．將代入得，說明直線與曲線有且只有一個交點．
綜上，不論點在何位置，直線：與曲線恒有且只有一個交點，交點即                           …………………………………………8分
（Ⅲ）更一般的結(jié)論：對橢圓，過其上任意一點的切線方程為；
在雙曲線中的類似的結(jié)論是：過雙曲線 上任意一點的切線方程為：．…………………………………12分

解析

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（03年北京卷理）（13分）

已知動圓過定點P（1，0），且與定直線相切，點C在l上.

   （Ⅰ）求動圓圓心的軌跡M的方程；

   （Ⅱ）設(shè)過點P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A，B兩點.

        （i）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標(biāo)；若不能，說明理由；

        （ii）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，求這種點C的縱坐標(biāo)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011屆貴州省五校高三第五次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)（暨遵義四中第13次月考） 題型：解答題

已知定圓，動圓過點且與圓相切，記動圓圓
心的軌跡為．
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）若點為曲線上任意一點，證明直線與曲線恒有且只有一個公共點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年貴州省第13次月考） 題型：解答題

已知定圓，動圓過點且與圓相切，記動圓圓

心的軌跡為．

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）若點為曲線上任意一點，證明直線與曲線恒有且只有一個公共點．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年貴州省第五校高三第五次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)（暨遵義四中13次月考） 題型：解答題

已知定圓，動圓過點且與圓相切，記動圓圓

心的軌跡為．

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）若點為曲線上任意一點，證明直線與曲線恒有且只有一個公共點．

（Ⅲ）由（Ⅱ）你能否得到一個更一般的結(jié)論？并且對雙曲線寫出一個類似的結(jié)論（皆不必證明）．

 

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