Question

如圖，在平面直角坐標系中，設點（），直線:，點在直線上移動，是線段與軸的交點, 過、分別作直線、，使， .

(1)求動點的軌跡的方程；

（2）在直線上任取一點做曲線的兩條切線，設切點為、，求證：直線恒過一定點；

(3)對（2）求證：當直線的斜率存在時，直線的斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列.

 

Answer 1

【答案】

(1)．（2）利用導數(shù)法求出直線AB的方程，然后再利用直線橫過定點知識解決.（3）用坐標表示出斜率，然后再利用等差中項的知識證明即可

【解析】

試題分析：(1)依題意知，點是線段的中點，且⊥，

∴是線段的垂直平分線．∴．

故動點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，其方程為：．

（2）設，兩切點為， 

由得，求導得．

∴兩條切線方程為 ① 

②                 

對于方程①，代入點得，，又

∴整理得：

同理對方程②有

即為方程的兩根.

∴  ③                            

設直線的斜率為，

所以直線的方程為，展開得：

，代入③得：

∴直線恒過定點.                            

(3) 證明：由（2）的結(jié)論，設， ， 

且有，  

∴                  

∴

=  

又∵，所以

即直線的斜率倒數(shù)成等差數(shù)列.  

考點：本題考查了拋物線與導數(shù)、數(shù)列的綜合考查

點評：解答拋物線綜合題時，應根據(jù)其幾何特征熟練的轉(zhuǎn)化為數(shù)量關系（如方程、函數(shù)），再結(jié)合代數(shù)方法解答，這就要學生在解決問題時要充分利用數(shù)形結(jié)合、設而不求、弦長公式及韋達定理綜合思考，重視對稱思想、函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想的應用